设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$ \text{A.} $ $a=1, b=-1$. $ \text{B.} $ $a=-1, b=1$. $ \text{C.} $ $a=1, b=1$. $ \text{D.} $ $a=-1, b=-1$.
【答案】 B

【解析】 $$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=& \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left[\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}\right]=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\ln (1-a x)}{|x|} \\
=2+\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-a x}{-x}=2+a, \\
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=& \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}\right]=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1-a x)}{|x|} \\
=0+\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-a x}{x}=-a,
\end{aligned}
$$
因 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=f(0)$, 即 $2+a=-a=b$, 解得 $a=-1, b=1$.
故应选 (B).
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