题号:2990    题型:填空题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设 $f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x^2+y^2} \frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 1, & x^2+y^2=0, x^2+y^2 \leqslant t^2,\end{cases}$ 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
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答案:
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解析:

由 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \mathrm{e}^{x^2+y^2} \frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim _{u \rightarrow 0^{+}} \mathrm{e}^u+\frac{\sin \sqrt{u}}{\sqrt{u}}=$ $1=f(0,0)$, 知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 所以 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续.
由二重积分的中值定理知, 存在 $(\xi, \eta) \in D$, 使得
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi t^2 f(\xi, \eta) \text {, 当 } t \rightarrow 0^{+} \text {时, }(\xi, \eta) \rightarrow(0,0) \text {. }
$$
故 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(\xi, \eta)=f(0,0)=1$.
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