若曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 与直线 $y=a x(a > 0)$ 有两个交点, 则 $a$ 的取值范围是
$ \text{A.} $ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$. $ \text{B.} $ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$. $ \text{C.} $ $(1, \mathrm{e})$. $ \text{D.} $ $(e,+\infty)$.
【答案】 D

【解析】
【解析】 $y=\mathrm{e}^x$ 与 $y=a x(a > 0)$ 有两个交点, 即函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x$ 有两个零点.
由 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-a=0$ 得驻点 $x=\ln a$, 又 $f^{\prime \prime}(x)=\mathrm{e}^x > 0$, 所以唯一驻点 $x=\ln a$ 是函数的 最小值点, 且最小值
$$
f(\ln a)=\mathrm{e}^{\ln a}-a \ln a=a(1-\ln a) .
$$

$$
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\mathrm{e}^x-a x\right)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\mathrm{e}^x-a x\right)=+\infty,
$$
且函数 $f(x)$ 有两个零点, 所以最小值 $f(\ln a)=a(1-\ln a) < 0$, 即 $a > \mathrm{e}$.
故应选 (D).
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