题号:2991    题型:填空题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $f(x-1)$ 的间断点为
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答案:
$x=1$

解析:

解 当 $x > 0$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}+1}{\mathrm{e}^{-n x}+1}=1$;
当 $x=0$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}=\frac{1}{2}$;
当 $x < 0$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}=x$.
故 $f(x-1)= \begin{cases}1, & x > 1, \\ \frac{1}{2}, & x=1, \\ x-1, & x < 1 .\end{cases}$
所以 $x=1$ 是 $f(x-1)$ 的间断点.
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