题号:2912    题型:解答题    来源:2023大一高数导数与微分期末考试
证明:当 $ x > 0 $ 时, $ 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) > \sqrt{1+x^2} $
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答案:
证明: 令 $f(x)=1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}$, 则 $f(0)=0$
因为 $f^{\prime}(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) > 0$, 从而 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增
从而 $f(x) > f(0)=0$, 从而 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) > \sqrt{1+x^2} $
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