题号:2713    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学二卷)
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$A.$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点. $B.$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点. $C.$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点. $D.$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
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答案:
C

解析:

【分析】由等式脱帽法, 有 $\frac{f(x, y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1+a$, 其中 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} a=0$, 则
$$
f(x, y)=x^k y+\left(x^2+y^2\right)^2+\alpha\left(x^2+y^2\right)^2, f(0,0)=0 .
$$
记 $r=\sqrt{x^2+y^2},\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta, \\ y=r \sin \theta,\end{array}\right.$, 则 $f(x, y)=r^{k+1} \cos ^* \theta \sin \theta+r^4+o\left(r^4\right)$.
(1) 当 $0 \leqslant k \leqslant 2$ 时, $1 \leqslant k+1 \leqslant 3$, 在点 $(0,0)$ 充分小的邻域内, $f(x, y)$ 的符号由 $r^{k+1} \cos ^k \theta \sin \theta$ 确定. 若 $k=0, \sin \theta$ 可正可负; 若 $k=1, \cos \theta \sin \theta$ 可正可负; 若 $k=2, \cos ^2 \theta \sin \theta$ 可正可负, 故 $(0,0)$ 不是极 值点.
(2) 当 $k \geqslant 3$ 时, $k+1 \geqslant 4, r^{k+1} \cos ^k \theta \sin \theta \leqslant r^4$, 所以一定存在点 $(0,0)$ 充分小的邻域, 在该邻域内 $f(x, y) \geqslant$ $0=f(0,0)$, 故 $(0,0)$ 必是极小值点.
应选 C.
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