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设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 1$ 且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{2}$. 证明：
(I) 存在 $\xi \in(0,+\infty)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;
(II) 存在与 (I) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta \in(0,+\infty)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=1$.
                        
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