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试卷000

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 关于矩阵的乘法下列描述错误的是

A.

满足交换律

B.

不满足消去律

C.

满足结合律

D.

满足分配律

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2. 设

A, B

都是

n

阶可逆矩阵且满足

A X B = C

, 则

X =

A.

A^{- 1} B^{- 1} C

B.

A^{- 1} C B^{- 1}

C.

B^{- 1} C A^{- 1}

D.

C A^{- 1} B^{- 1}

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n

阶方阵

A

可逆的充分必要条件是

A.

任一行向量都是非零向量

B.

任一列向量都是非零向量

C.

线性方程组

A x = b

有解

D.

当

x \neq 0

时,

A x \neq 0

, 其中

x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}

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4. 设

A

为 3 阶矩阵, 将

A

的第 1,2 两行对调, 再将第 2 列的 2 倍加到第 3 列得

(\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

, 则

A^{\cdot} =

A.

(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} - 3 & - 2 & - 1 \\ 1 & 0 & - 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} - 3 & - 2 & - 1 \\ - 1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} - 3 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})

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5. 设

\begin{matrix} A = (\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \end{array}), \\ P_{1} = (\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), P_{2} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}), \end{matrix}

则必有

A.

A P_{1} P_{2} = B

;

B.

{A P}_{2} P_{1} = B

;

C.

P_{1} P_{2} A = B

;

D.

P_{2} P_{1} A = B

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6. 设

A

是 4 阶矩阵, 且

A

的行列式

| A | = 0

, 则

A

中

A.

必有一列元素全为 0 ;

B.

必有两列元素成比例;

C.

必有一列向量是其余列向量的线性组合;

D.

任意列向量是其余列向量的线性组合.

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7. 设

A, B

均为

n

阶方阵, 则下列表达式一定正确的是

A.

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

B.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

C.

(A B)^{2} = A^{2} B^{2}

D.

(A + E) (A - E) = A^{2} - E

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8. 矩阵

A

是由 3 阶单位矩阵

E

依次经过初等变换

c_{1} + 2 c_{3}, r_{2} \leftrightarrow r_{3}

得到的, 其对应的初等矩阵分别为

P_{1} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}), P_{2} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

, 则

A

可以表示为

A.

P_{1} P_{2}

B.

P_{1}^{- 1} P_{2}

C.

P_{2} P_{1}

D.

P_{2} P_{1}^{- 1}

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9. 设

A, B

均为

n (n ⩾ 2)

阶矩阵, 满足

A - B - A B = k E

, 则下列

k

值中, 使

r (A + E) + r (B - E)

最小的是

A.

-2

B.

-1

C.

D.

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10. 设

A

为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是

A x = 0

与

A^{*} x = 0

有非零公共解的充分条件的个数是
(1)

r (\begin{matrix} A \\ A^{*} \end{matrix}) < 3

.
(2)

r (A, A^{*}) < 3

.
(3)

r (A) = 2

, 且

A^{*}

是对称矩阵.
(4)

r (A) = 2

, 且

A^{*}

不是对称矩阵.

A.

B.

C.

D.

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11. 设

A

为 3 阶矩阵，且

| A | = \frac{1}{2}

，则行列式

| - 2 A^{*} |

等于

A.

-2

B.

- \frac{1}{2}

C.

-1

D.

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12. 矩阵

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

的逆矩阵为

A.

(\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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13. 设

A

是

n

阶非零矩阵，满足

A = A^{2}

，若

A \neq E

，则

A.

| A | = 0

B.

| A | = 1

C.

A

可逆

D.

A

满秩

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二、判断题（共 5 题）

14. 当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系

A.

正确

B.

错误

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15. 若

n

阶行列式不等于零, 则它的所有

n - 1

阶子式可以都为零

A.

正确

B.

错误

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16. 奇数阶反对称矩阵

A

的行列式

| A | = 0

A.

正确

B.

错误

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17. 设

A, B

都是数域

P

上的

n

阶方阵, 若

E - A B

可逆, 则

E - B A

也可逆, 其中

E

为单位阵.

A.

正确

B.

错误

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18. 设

A (λ), B (λ)

都是数域

P

上的

n

阶

λ

-矩阵, 则

A (λ), B (λ)

等价的充分必要条件为

A (λ), B (λ)

有相同的初等因子组.

A.

正确

B.

错误

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三、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

19. 矩阵

{(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array})}^{101} =

________ , 行列式

\det (\begin{array}{ccc} 3 + a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & 3 + a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & 3 + a_{3} b_{3} \end{array}) =

________

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20. 设

A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & a \end{array}]

不可逆, 则

a =

________

A^{*} =

________

如A可逆，则

A^{- 1}

= ________

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21. 设

A

为可相似对角化的 4 阶矩阵,

α

为 4 维非零列向量. 若

α, A α, A^{2} α, A^{3} α

线性无关, 则

A

的不同特征值的个数为

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22. 设 4 阶方阵

A = (a, γ_{1}, γ_{2}), B = (β, 2 γ_{1}, 2 γ_{2})

, 其中

α, β, γ_{1}, γ_{2}

均为 3 维列向量, 已知行列式

| A | = 1, | B | = 4

, 则行列式

| A + B | =

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23. 设矩阵

A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array}), E

为二阶单位矩阵, 可逆矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

, 则

| B | =

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24. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{array})

, 且

R (A) = 3

, 则

k =

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25. 设

A, B

都是

n

阶方阵, 且存在非零复数

k

, 使得

A B = k A + k B

,
(1) 证明:

A B = B A

.
(2) 设

k = 1

, 当

A = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array})

时, 求

B

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26. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array})

, 则

A^{4}

的最大特征值为

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27. 设

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array}) ， A

为

4 \times 3

矩阵，且

R (A) = 2

，则

R (A B) =

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28. 设

A

和

B

是 3 阶方阵，

A

的 3 个特征值分别为

- 3, 3, 0

，若

E + B = A B

，则行列式

| B^{- 1} + 2 E | =

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四、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

29. 设

n

阶实对称矩阵

A, B

以及

A + B

的正惯性指数分别为

P_{A}, P_{B}

以及

P_{A + B}

, 试证明:

P_{A + B} ⩽ P_{A} + P_{B}

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30. 给定矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]

, 计算
(1)

| A |

(2)

A^{- 1}

(3)

A A^{T}

(4) 设有矩阵方程

A X = 2 X + A

, 求

X

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31. 设

n

阶矩阵

A

和

B

满足条件:

A + B = A B

.
(1) 证明:

A - E

是可逆矩阵, 其中

E

是

n

阶单位.
(2) 已知矩阵

B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 求矩阵

A

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32. 设 4 阶矩阵

A = [\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}]

, 求

A^{100}

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33.

p = (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}), A = (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17 \end{array}) - \frac{1}{30^{2022}} {(p p^{T})}^{2023}, B = (\begin{array}{llll} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})

.
(1)、求矩阵

A

(2) 、若

X

满足

X {(E - B^{- 1} A)}^{T} B^{T} = E

, 求矩阵

X

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34. 证明题设

A

为三阶正定矩阵, 证明:

| A | > 0, | A + E | > 1

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35. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为 3 维向量空间的一组基,3 阶矩阵

A

满足

A α_{1} = - 2 α_{1} + 5 α_{2} - α_{3}

A α_{2} = 2 α_{2} - α_{3}, A α_{3} = - α_{1} + 8 α_{2} - 3 α_{3}

.
(I) 设矩阵

P = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

为从

α_{1}, α_{2}, α_{3}

到

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的过渡矩阵, 求矩阵

B

, 使得

A (β_{1}, β_{2}, β_{3}) = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) B;

(II) 矩阵

A

是否相似于对角矩阵? 请说明理由.

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36. 设

A = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & - 1 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ - 1 & 3 & 0 \end{array})

，若

R (A B + B) = 2

，求

a

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37. “设

A

是

n

阶实的反对称矩阵，则对于任何

n

维实的列向量

α ， α

和

A α

正交，且

A - E

可逆”. 你认为该结论成立吗? 请说明理由.

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38. 设矩阵

A

满足

2 A^{- 1} B = 2 B + E

，

B = (\begin{array}{ccc} 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array}),

试求出

A - E

的第 2 行的元素.

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