2023年《概率论与数理统计》期末考试模拟卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

（证明题）设 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布，证明: $Y=2 X^2$ 的密度函数当 $0 < y < 8$ 时， $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}$.

答案：

证朋: $X \sim U(0,2), \quad f_X(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}, 0 < x < 2, \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$
$$
F_y(y)=P\{Y \leq y\}=P\left\{2 X^2 \leq y\right\}=P\left\{X^2 \leq y / 2\right\}
$$
当 $y \leq 0, F_Y(y)=0, f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y)=0$,
当 $y>0, F_Y(y)=P\{-\sqrt{y / 2} \leq X \leq \sqrt{y / 2}\}=\int_0^{\sqrt{y / 2}} f(x) d x$ ，当 $\sqrt{y / 2} < 2$ 即 $y < 8$ 时，
$F_Y(y)=\int_0^{\sqrt{y / 2}} \frac{1}{2} d x=\frac{\sqrt{y}}{2 \sqrt{2}}$, (4 分) 所以当 $0 < y < 8$ 时, $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}=1 /(4 \sqrt{2 y})$.

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