2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda(x+2)}, & x \geqslant-2 \\ 0, & x < -2\end{array}\right.$ 。设 $Y=[X]$, 其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。
(1) 求 $Y$ 的分布律;
(2) 设 $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 为来自总体 $Y$ 的简单随机样本, $\bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$, 求 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_M$ 和最大似然估计量 $\hat{\lambda}_{L^{\circ}}$ 。

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答案：

解析:
(1) 设 $P(Y=k)=P([X]=k)=P(k \leqslant X < k+1)=\int_k^{k+1} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda(x+2)} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-\lambda(k+2)}-\mathrm{e}^{-\lambda(k+3)}$ 其中 $k=-2,-1,0,1,2, \cdots$ 。
(2) 㒶先求解 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_M$
$$
\begin{aligned}
E(Y) & =\sum_{k=-2}^{+\infty} k\left[\mathrm{e}^{-\lambda(k+2)}-\mathrm{e}^{-\lambda(k+3)}\right]=\sum_{k=0}^{+\infty}(k-2) \mathrm{e}^{-\lambda k}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)=\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right) \sum_{k=0}^{+\infty}(k-2) \mathrm{e}^{-\lambda k} \\
& =\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\left[\sum_{k=0}^{+\infty}(k+1) \mathrm{e}^{-\lambda k}-3 \sum_{k=0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda k}\right]=\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\left[\frac{1}{\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)^2}-\frac{3}{1-\mathrm{e}^{-\lambda}}\right] \\
& =\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\lambda}}-3=\frac{-2+3 \mathrm{e}^{-\lambda}}{1-\mathrm{e}^{-\lambda}}
\end{aligned}
$$
解得 $\lambda=\ln \frac{E(Y)+3}{E(Y)+2}$, 所以 $\hat{\lambda}_M=\ln \frac{\bar{Y}+3}{\bar{Y}+2}$ 。
其次求解 $\lambda$ 的极大似然估计量 $\hat{\lambda}_L$ 。
注意到 $P(Y=k)=\mathrm{e}^{-\lambda(k+2)}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)$, 于是记 $L(\lambda)=\exp \left\{-\lambda \sum_{i=1}^n\left(y_i+2\right)\right\} \cdot\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)^n$ 。
所以 $\ln L(\lambda)=-\lambda \sum_{i=1}^n\left(y_i+2\right)+n \ln \left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)$, 所以令 $\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda}=-\sum_{i=1}^n\left(y_i+2\right)+\frac{n \mathrm{e}^{-\lambda}}{1-\mathrm{e}^{-\lambda}}=0$ 。
$$
\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i+3}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i+2} \text {, 所以 } \hat{\lambda}_L=\ln \frac{\bar{Y}+3}{\bar{Y}+2} \text { 。 }
$$
【注意】
一个小小的方法是:
如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, 那么他们还会等于 $\frac{a+c}{b+d}$ 。(前提是：必须要这些分式全部有意义)
$$
\text { 鿒目来说: } \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(y_i+2\right)}{\mathrm{e}^{-\lambda}}=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\lambda}}=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(y_i+2\right)+1}{\mathrm{e}^{-\lambda}+1-\mathrm{e}^{-\lambda}} \text {, 然后解出来即可。 }
$$

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