一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $X, Y$ 是两个随机变量, $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相关系数 为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 已知由切比雪夫不等式可得 $P\{|X+Y-1| < 10\} \geqslant k$, 则 $k$ 的值等于
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{21}{25}$.
$\text{D.}$ $\frac{87}{100}$.
设 $\theta$ 为总体 $X$ 的末知参数, $\theta_1, \theta_2$ 为统计量, $\left(\theta_1, \theta_2\right)$ 为 $\theta$ 的置信度 是 $1-\alpha(0 < \alpha < 1)$ 的置信区间, 则有
$\text{A.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{B.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=1-\alpha$
$\text{C.}$ $p\left(\theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{D.}$ $p\left(\theta_1 < \theta\right)=1-\alpha$
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$. 且 $p(2 < X < 4)=0.3$, 则 $p(X < 0)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则下列随机 变量中服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的是
$\text{A.}$ $\max \left(X_1, X_2\right)$
$\text{B.}$ $\min \left(X_1, X_2\right)$
$\text{C.}$ $X_1+X_2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$, 则
$\text{A.}$ $P\{X+Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\{X-Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P\{X-Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$
对任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$, 若 $E(X Y)=E(X) E(Y)$, 则
$\text{A.}$ $X$ 和 $Y$ 独立
$\text{B.}$ $X$ 和 $Y$ 不独立
$\text{C.}$ $D(X Y)=D(X) D(Y)$
$\text{D.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
设 $(\xi, \eta)$ 服从二维正态分布, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $(\xi, \eta)$ 的边际分布仍然是正态分布
$\text{B.}$ 由 $(\xi, \eta)$ 的边际分布可完全确定 $(\xi, \eta)$ 的联合分布
$\text{C.}$ $(\xi, \eta)$ 为二维连续性随机变量
$\text{D.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立的充要条件为 $\xi$ 与 $\eta$ 的相关系数为 0
已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 则随机变量函数 $Y=|X|$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 为
$\text{A.}$ $f_Y(y)=f(y)+f(-y)$.
$\text{B.}$ $f_Y(y)=\frac{f(y)+f(-y)}{2}$.
$\text{C.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}f(y)+f(-y), & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f(y)+f(-y)}{2}, & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,1 ; 1,4 ; 0)$, 则 $P\{X Y>X\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 为已知常数,记 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差, 则下列统计量中与 $\bar{X}$ 不独立的是
$\text{A.}$ 样本标准差
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$. 记统计量
$$
Y_1=\sum_{i=1}^{2 n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2, Y_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-X_{n+i}\right)^2, Y_3=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2,
$$
则这 3 个统计量的数学期望 $E\left(Y_1\right), E\left(Y_2\right), E\left(Y_3\right)$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)>E\left(Y_3\right)$
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(Y_3\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(Y_2\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)$
已知随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < 0, \\ 1-\frac{1}{2^{n+1}}, & n \leqslant x < n+1, n=0,1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则方差 $D X=(\quad)$.
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 2
设随机变量 $X$ 在区间 $(1,2)$ 内服从均匀分布, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布. 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$. 记统计量
$$
Y_1=\sum_{i=1}^{2 n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2, Y_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-X_{n+i}\right)^2, Y_3=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2 \text {, }
$$
则这 3 个统计量的数学期望 $E\left(Y_1\right), E\left(Y_2\right), E\left(Y_3\right)$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)>E\left(Y_3\right)$
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(Y_3\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(Y_2\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)$
设总体 $X \sim N(\mu, 1), Y \sim N(\mu, 1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X, Y$ 的简单随机样本, 设 $X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_X^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, $S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$, 则 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\bar{Y})}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $t(n-1)$
$\text{B.}$ $t(n)$
$\text{C.}$ $t(2 n)$
$\text{D.}$ $t(2 n-2)$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu$ 已知, $\sigma^2$ 未知. $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 则下列样本函数中不是统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq \leqslant n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$, 容量都为 $n$的样本的样本均值, 则当 $n$ 固定时, 概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, 4\right), Y \sim N\left(\mu_2, 5\right), X$ 与 $Y$ 相互独立, $X_1, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, \cdots, Y_{10}$ 是分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 的两个样本, $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 分别为两个样本的样本方差, 则
$\text{A.}$ $\frac{2 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{B.}$ $\frac{5 S_X^2}{2 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{C.}$ $\frac{4 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{D.}$ $\frac{5 S_X^2}{4 S_Y^2} \sim F(7,9)$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(2)$
$\text{C.}$ $t(2)$
$\text{D.}$ $F(2,2)$
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $X+Y=0$. 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 其概率密度为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \times 10} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{10}\right)},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
则概率 $P\{X < Y\}=$
设随机变量 $X$ 服从二项分布 $b(50,0.2)$, 则 $E(X)=$ , $D(X)=$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,3)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则 $D(3 X-2 Y)=$
对一正态总体 $N(\mu, 100)$ 的均值 $\mu$ 求置信水平为 $95 \%$ 的置信区间, 若要求其区间长度不大于 4 , 则样本容量 $n$ 至少应取
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x \mid}(-\infty < x < +\infty), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本方差为 $S^2$, 则 $E\left(S^2\right)=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从平面区域
$$
D=\left\{(x, y): \quad x^2+y^2 \leq 1\right\}
$$
上的均匀分布.
(1). 试求二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数;
(2). 求随机变量 $X$ 及 $Y$ 各自的边缘密度函数;
(3). 求 $E(X), E(Y)$ 及 $E(X Y)$;
(4) 判断随机变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立? 是否不相关?
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且都服从标准正态分布 $N(0,1)$. 令随机变量
$$
Z=\sqrt{X^2+Y^2}
$$
(1) 试求随机变量 $Z$ 的密度函数 $f_Z(z)$. (2) 试求 $E(Z)$.
设 $(X, Y)$ 联合密度函数为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
6 x y^2, & 0 < y < 1, y < x < 2-y \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
试求: (I) 边缘密度函数 $f_X(x) 、 f_Y(y)$; (II) $X$ 与 $Y$ 的独立性与相关性; (III) $Z=X+Y$ 的概率密 度函数 $f_Z(z)$.
设随机变量 $X$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上服从均匀分布,
求: (1) $X$ 的分布函数 $F(x)$ :
(2) $Y=e^X$ 的概率密度 $f_Y(y)$.
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A+B e^{-2 x} & x>0 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 : (1) $A, B$ 的值： (2) $p(-2 < x \leq 2)$ ：(3) $X$ 的概率密度函数.
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y & 0 \leq y \leq 1,0 \leq x \leq 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求 (1) $p(X < Y)$ ：(2). $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)$.
1. 叙述 “事件 $A$ 概率为零” 与 “事件 $A$ 为不可能事件” 的关系, 并给出例子支持你的结论.
2. 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$
f_X(x)= \begin{cases}\theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中常数 $\theta>0$, 令 $Y=-2 \theta \ln X$. 求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$.
1. 叙述两个随机变共 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 的含义.
2. 设 $G$ 是由 $x$轴、 $y$ 轴及直线 $2 x+y-2=0$ 所围成的区域, 二维随机变旦 $(X, Y)$ 在 $G$ 内服从均匀 分布. 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
（请从本题和下一题选择一题）设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim N(0,1), Y$ 以 0.5 的概率取值 $\pm 1 $, 令 $Z=X Y$,证明
( I ) $Z \sim N(0,1)$;
( II ) $X$ 与 $Z$ 既不相关也不独立.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
(2-x) y, & 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 求 $X, Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x), f_Y(y)$, 并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立(说明原因)?
(2) 求 $P\{X+Y \leq 1\}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 联合密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}1 & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 2 x \\ 0 & \text { 其它 }\end{cases}
$$
求: (1) 随机变量 $Y$ 边缘密度函数 $f_Y(y)$ (5 分)；
(2) 方差 $D(Y)$
设 $X \sim N(0,1), Y \sim U(-1,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立.
(I) 求 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f(x, y)$;
(II) 若 $Z=X-Y$, 求 $f_Z(z)$;
(III) 求 $D(Z)$.
经大量调查, 已知一般健康成年男子每分钟脉搏的次数服从正态分布 $N\left(72,6^2\right)$.现测得 16 例成年男子慢性铅中毒患者的脉搏平均 67 次/分钟, 标准差为 7 次/分钟.问在显著性水平 0.05 下, 这群患者每分钟脉搏的次数(假设也服从正态分布) 和正常人有无显著性差异? (要求对均值和方差都进行检验.)