单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
集合 $P=\{x \in R \mid y=\ln (3-x)\}, Q=\left\{y \in R \mid y=2^x, x \in P\right\}$, 则 $P \bigcap Q= $
$\text{A.}$ $(-\infty, 3)$
$\text{B.}$ $(0,3)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 8)$
复数 $z$ 满足 $|z-5|=|z-1|=|z+i|$, 则 $|z|= $
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\sqrt{13}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5$
随机掷两个质地均匀的正方体骰子, 骰子各个面分别标记有 1- 6 共六个数字, 记事件 A=“骰子向上的点数是 1 和 3 ", 事件 $B=$ "骰子向上的点数是 3 和 6 ", 事件 $C=$ “骰子向上的点数含有 3 ", 则下列说法正 确的是
$\text{A.}$ 事件 A 与事件 B 是相互独立事件
$\text{B.}$ 事件 A 与事件 C 是互斥事件
$\text{C.}$ $P(A)=P(B)=\frac{1}{18}$
$\text{D.}$ $P(C)=\frac{1}{6}$
在平行四边形 $A B C D$ 中, $E 、 F$ 分别在边 $A D 、 C D$ 上, $A E=3 E D$, $D F=F C, A F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$, 记 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}$, 则 $\overrightarrow{A G}=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{11} \vec{a}+\frac{4}{11} \vec{b}$
$\text{B.}$ $\frac{6}{11} \vec{a}+\frac{3}{11} \vec{b}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{11} \vec{a}+\frac{5}{11} \vec{b}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{11} \vec{a}+\frac{6}{11} \vec{b}$
在三棱锥 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=6, B C=3, \angle C A B=\frac{\pi}{6}$, 则三棱雉 $P-A B C$ 的 外接球半径为
$\text{A.}$ $3$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $6$
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 上恰好取到一次最大值与一次最小值, 则 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(4,7]$
$\text{B.}$ $[4.7)$
$\text{C.}$ $(7.10]$
$\text{D.}$ $[7,10)$
意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例，引入数列：$1,1,2,3,5,8，...$，该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, n \in N^*$, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$, 其中 A、B 的值可由 $a_1$ 和 $a_2$ 得到, 比如兔子数列中 $a_1=1, a_2=1$ 代入解得 $A=\frac{1}{\sqrt{5}}, B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$. 利用 以上信息计算 $\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^5\right]=(\quad) .([x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 $)$
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 13
已知 $a=\frac{1}{e \ln \sqrt{2}}, b=\frac{2}{\sqrt{e}}, c=\frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}$ （其中 $e$ 为自然常数), 则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $c < b < a$
$\text{D.}$ $c < a < b$
某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量, 图书管理员甲抽取了一个容量为 100 的样本, 并 算得样本的平均数为 5 , 方差为 9 ; 图书管理员乙也抽取了一个容量为 100 的样本, 并算得样本的平均 数为 7, 方差为 16. 若将两个样本合在一起组成一个容量为 20 的新样本, 则新样本数据的
$\text{A.}$ 平均数为 6
$\text{B.}$ 平均数为 $6.5$
$\text{C.}$ 方差为 $12.5$
$\text{D.}$ 方差为 $13.5$
如图, 在边长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 在线段 $B D_1$ 上运动 (包括端点), 下列选项正 确的有
$\text{A.}$ $A P \perp B_1 C$
$\text{B.}$ $P D \perp B C$
$\text{C.}$ 直线 $P C_1$ 与平面 $A_1 B C D_1$ 所成角的最小值是 $\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $P C+P D$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$
已知 $f(x)=x^3+b x^2+x+d, b 、 d \in R$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 存在 $b, d$ 使得 $f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ 任意 $b 、 d, f(x)$ 的图像是中心对称图形
$\text{C.}$ 若 $x_1, x_2$ 为 $f(x)$ 的两个极值点, 则 $x_1{ }^2+x_2{ }^2>1$
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $R$ 上单调, 则 $-\sqrt{3} \leq b \leq \sqrt{3}$
已知 $F_1 、 F_2$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 过点 $F_2$ 的直线与双曲线的右支 交于 $A 、 B$ 两点, 记 $\triangle A F_1 F_2$ 的内切圆 $I_1$ 的半径为 $r_1, \Delta B F_1 F_2$ 的内切圆 $I_2$ 的半径为 $r_2$. 若 $r_1 r_2=a^2$, 则 ( )
$\text{A.}$ $I_1 、 I_2$ 在直线 $x=a$ 上
$\text{B.}$ 双曲线的离心率 $e=2$
$\text{C.}$ $\triangle A B F_1$ 内切圆半径最小值是 $\frac{3}{2} a$
$\text{D.}$ $r_1+r_2$ 的取值范围是 $\left[2 a, \frac{4 \sqrt{3}}{3} a\right]$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$(y-2)(x-3)^4$ 的展开式中含 $x^3 y$ 项的系数为
已知正项等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $3 a_n=a_{3 n}$, 且 $a_4$ 是 $a_3-3$ 与 $a_8$ 的等比中项, 则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=$
过点 $P(4,5)$ 作圆 $C:(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 的两条切线, 切点分别为 $A 、 B$, 则 $A B$ 的直线方程为
若函数 $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3}-a\left(\dfrac{3}{x}+\ln x\right)$ 只有一个极值点, 则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知在 $\triangle A B C$ 中, 边 $a 、 b 、 c$ 所对的角分别为 $A 、 B 、 C, \frac{\sin (B-A)}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin C}=1$.
(1) 证明: $a 、 b 、 c$ 成等比数列;
(2) 求角 $B$ 的最大值.
己知正项数列 $\left\{a_n\right\}$, 其前 $n$ 项和 $S_n$满足 $ a_n \left(2 S_n-a_n\right)=n, n \in N^*$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\cdots+\frac{1}{S_n^2} < 2$.
如图, 在三棱柱 $A B C-D E F$ 中, $A D=2 A B=4, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, P$ 为 $A D$ 的中点, $\triangle B C P$ 为等 边三角形, 直线 $A C$ 与平面 $A B E D$ 所成角大小为 $\frac{\pi}{4}$.
(1) 求证: $P E \perp$ 平面 $B C P$;
(2) 求平面 $E C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值.
某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动 并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填 空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题 作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中.
(1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率;
（2）若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答 题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选 择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.
已知点 $M(4,4)$ 在抛物线 $\Gamma: x^2=2 p y$ 上, 过动点 $P$ 作抛物线的两条切线, 切点分别为 $A 、 B$, 且 直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之积为 $-2$.
(1) 证明: 直线 $A B$ 过定点;
(2) 过 $A 、 B$ 分别作抛物线准线的垂线, 垂足分别为 $C 、 D$, 问: 是否存在一点 $P$ 使得 $A 、 C 、 P 、 D$ 四点共圆? 若存在, 求所有满足条件的 $P$ 点; 若不存在, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a \cos x+b x \ln x-b x, a 、 b \in R$.
(1) 若 $b=0$ 且函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是单调递增函数, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $0 < a < 1 ， x_1 、 x_2$ 满足 $f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$, 证明: $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>2 \sqrt{\frac{-b}{1+a}}$.