2022年12月湖北五校联盟(武汉、孝感、向阳、宜昌、夷陵）高三上学期第一次联考试卷

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2022年12月湖北五校联盟(武汉、孝感、向阳、宜昌、夷陵）高三上学期第一次联考试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 集合

P = {x \in R ∣ y = \ln (3 - x)}, Q = {y \in R ∣ y = 2^{x}, x \in P}

, 则

P ⋂ Q =

A.

(- \infty, 3)

B.

(0, 3)

C.

(1, 3)

D.

(- \infty, 8)

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2. 复数

z

满足

| z - 5 | = | z - 1 | = | z + i |

, 则

| z | =

A.

\sqrt{10}

B.

\sqrt{13}

C.

3 \sqrt{2}

D.

5

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3. 随机掷两个质地均匀的正方体骰子, 骰子各个面分别标记有 1- 6 共六个数字, 记事件 A=“骰子向上的点数是 1 和 3 ", 事件

B =

"骰子向上的点数是 3 和 6 ", 事件

C =

“骰子向上的点数含有 3 ", 则下列说法正确的是

A.

事件 A 与事件 B 是相互独立事件

B.

事件 A 与事件 C 是互斥事件

C.

P (A) = P (B) = \frac{1}{18}

D.

P (C) = \frac{1}{6}

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4. 在平行四边形

A B C D

中,

E 、 F

分别在边

A D 、 C D

上,

A E = 3 E D

D F = F C, A F

与

B E

相交于点

G

, 记

\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}

, 则

\vec{A G} =

A.

\frac{3}{11} \vec{a} + \frac{4}{11} \vec{b}

B.

\frac{6}{11} \vec{a} + \frac{3}{11} \vec{b}

C.

\frac{4}{11} \vec{a} + \frac{5}{11} \vec{b}

D.

\frac{3}{11} \vec{a} + \frac{6}{11} \vec{b}

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5. 在三棱锥

P - A B C

中,

P A ⊥

平面

A B C, P A = 6, B C = 3, ∠ C A B = \frac{π}{6}

, 则三棱雉

P - A B C

的外接球半径为

A.

3

B.

3 \sqrt{2}

C.

3 \sqrt{3}

D.

6

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6. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})

在

(0, \frac{π}{3})

上恰好取到一次最大值与一次最小值, 则

ω

的取值范围是

A.

(4, 7]

B.

[4.7)

C.

(7.10]

D.

[7, 10)

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7. 意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例，引入数列：

1, 1, 2, 3, 5, 8 ， . . .

，该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}, n \in N^{*}

, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列

{a_{n}}

的通项公式为

a_{n} = A \cdot {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + B \cdot {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}

, 其中 A、B 的值可由

a_{1}

和

a_{2}

得到, 比如兔子数列中

a_{1} = 1, a_{2} = 1

代入解得

A = \frac{1}{\sqrt{5}}, B = - \frac{1}{\sqrt{5}}

. 利用以上信息计算

[{(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})}^{5}] = () . ([x]

表示不超过

x

的最大整数

)

A.

B.

C.

D.

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8. 已知

a = \frac{1}{e \ln \sqrt{2}}, b = \frac{2}{\sqrt{e}}, c = \frac{3 \sqrt[3]{e}}{4}

（其中

e

为自然常数), 则

a 、 b 、 c

的大小关系为

A.

a < c < b

B.

b < a < c

C.

c < b < a

D.

c < a < b

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9. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量, 图书管理员甲抽取了一个容量为 100 的样本, 并算得样本的平均数为 5 , 方差为 9 ; 图书管理员乙也抽取了一个容量为 100 的样本, 并算得样本的平均数为 7, 方差为 16. 若将两个样本合在一起组成一个容量为 20 的新样本, 则新样本数据的

A.

平均数为 6

B.

平均数为

6.5

C.

方差为

12.5

D.

方差为

13.5

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10. 如图, 在边长为 2 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

在线段

B D_{1}

上运动 (包括端点), 下列选项正确的有

A.

A P ⊥ B_{1} C

B.

P D ⊥ B C

C.

直线

P C_{1}

与平面

A_{1} B C D_{1}

所成角的最小值是

\frac{π}{6}

D.

P C + P D

的最小值为

2 \sqrt{3}

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11. 已知

f (x) = x^{3} + b x^{2} + x + d, b 、 d \in R

, 下列说法正确的是

A.

存在

b, d

使得

f (x)

是奇函数

B.

任意

b 、 d, f (x)

的图像是中心对称图形

C.

若

x_{1}, x_{2}

为

f (x)

的两个极值点, 则

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 1

D.

若

f (x)

在

R

上单调, 则

- \sqrt{3} \leq b \leq \sqrt{3}

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12. 已知

F_{1} 、 F_{2}

分别为双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点, 过点

F_{2}

的直线与双曲线的右支交于

A 、 B

两点, 记

△ A F_{1} F_{2}

的内切圆

I_{1}

的半径为

r_{1}, Δ B F_{1} F_{2}

的内切圆

I_{2}

的半径为

r_{2}

. 若

r_{1} r_{2} = a^{2}

, 则 ( )

A.

I_{1} 、 I_{2}

在直线

x = a

上

B.

双曲线的离心率

e = 2

C.

△ A B F_{1}

内切圆半径最小值是

\frac{3}{2} a

D.

r_{1} + r_{2}

的取值范围是

[2 a, \frac{4 \sqrt{3}}{3} a]

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13.

(y - 2) (x - 3)^{4}

的展开式中含

x^{3} y

项的系数为

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14. 已知正项等差数列

{a_{n}}

满足

3 a_{n} = a_{3 n}

, 且

a_{4}

是

a_{3} - 3

与

a_{8}

的等比中项, 则

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} =

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15. 过点

P (4, 5)

作圆

C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4

的两条切线, 切点分别为

A 、 B

, 则

A B

的直线方程为

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16. 若函数

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}} - a (\frac{3}{x} + \ln x)

只有一个极值点, 则

a

的取值范围是

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知在

△ A B C

中, 边

a 、 b 、 c

所对的角分别为

A 、 B 、 C, \frac{\sin (B - A)}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin C} = 1

.
(1) 证明:

a 、 b 、 c

成等比数列;
(2) 求角

B

的最大值.

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18. 己知正项数列

{a_{n}}

, 其前

n

项和

S_{n}

满足

a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = n, n \in N^{*}

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 证明:

\frac{1}{S_{1}^{2}} + \frac{1}{S_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}^{2}} < 2

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19. 如图, 在三棱柱

A B C - D E F

中,

A D = 2 A B = 4, ∠ B A D = \frac{π}{3}, P

为

A D

的中点,

△ B C P

为等边三角形, 直线

A C

与平面

A B E D

所成角大小为

\frac{π}{4}

.
(1) 求证:

P E ⊥

平面

B C P

;
(2) 求平面

E C P

与平面

C D P

夹角的余弦值.

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20. 某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中.
(1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率;
（2）若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.

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21. 已知点

M (4, 4)

在抛物线

Γ : x^{2} = 2 p y

上, 过动点

P

作抛物线的两条切线, 切点分别为

A 、 B

, 且直线

P A

与直线

P B

的斜率之积为

- 2

.
(1) 证明: 直线

A B

过定点;
(2) 过

A 、 B

分别作抛物线准线的垂线, 垂足分别为

C 、 D

, 问: 是否存在一点

P

使得

A 、 C 、 P 、 D

四点共圆? 若存在, 求所有满足条件的

P

点; 若不存在, 请说明理由.

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22. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \cos x + b x \ln x - b x, a 、 b \in R

.
(1) 若

b = 0

且函数

f (x)

在

(0, \frac{π}{2})

上是单调递增函数, 求

a

的取值范围;
(2) 设

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

, 若

0 < a < 1 ， x_{1} 、 x_{2}

满足

f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})

, 证明:

\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > 2 \sqrt{\frac{- b}{1 + a}}

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