已知 $F_1 、 F_2$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 过点 $F_2$ 的直线与双曲线的右支 交于 $A 、 B$ 两点, 记 $\triangle A F_1 F_2$ 的内切圆 $I_1$ 的半径为 $r_1, \Delta B F_1 F_2$ 的内切圆 $I_2$ 的半径为 $r_2$. 若 $r_1 r_2=a^2$, 则 ( )
A. $I_1 、 I_2$ 在直线 $x=a$ 上
B. 双曲线的离心率 $e=2$
C. $\triangle A B F_1$ 内切圆半径最小值是 $\frac{3}{2} a$
D. $r_1+r_2$ 的取值范围是 $\left[2 a, \frac{4 \sqrt{3}}{3} a\right]$