已知点 $M(4,4)$ 在抛物线 $\Gamma: x^2=2 p y$ 上, 过动点 $P$ 作抛物线的两条切线, 切点分别为 $A 、 B$, 且 直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之积为 $-2$.
(1) 证明: 直线 $A B$ 过定点;
(2) 过 $A 、 B$ 分别作抛物线准线的垂线, 垂足分别为 $C 、 D$, 问: 是否存在一点 $P$ 使得 $A 、 C 、 P 、 D$ 四点共圆? 若存在, 求所有满足条件的 $P$ 点; 若不存在, 请说明理由.
【答案】 (1) 将 $(4,4)$ 带入抛物线方程 $x^2=2 p y$ 得到 $p=2$, 所以抛物线方程为 $x^2=4 y$, 设切点坐标为 $\left(x_0, y_0\right)$, 则切线斜率为 $\frac{x_0}{2}$, 所以切线方程为 $y-y_0=\frac{x_0}{2}\left(x-x_0\right)$, 即 $x_0 x=2\left(y+y_0\right)$
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), A B$ 直线方程为 $y=k x+b$, 由题意得 $k_{P A} \cdot k_{P B}=\frac{x_1}{2} \cdot \frac{x_2}{2}=-2$, 所以 $x_1 x_2=-8$, 联立直线 $A B$ 和抛物线得 $\left\{\begin{array}{l}x^2=4 y \\ y=k x+b\end{array}\right.$ 得 $x^2-4 k x-4 b=0$, 所以 $x_1 x_2=-4 b=-8$ 得 $b=2$,
所以 $A B$ 的直线方程为 $y=k x+2$, 直线 $A B$ 过定点 $(0,2)$;

(2) 联立直线 $A B$ 和抛物线得 $\left\{\begin{array}{l}x^2=4 y \\ y=k x+2\end{array}\right.$ 得 $x^2-4 k x-8=0$
可知 $x_1+x_2=4 k, x_1 x_2=-8$,
8 分
设 $C\left(x_1,-1\right), D\left(x_2,-1\right)$ 设 $P A$ 直线方程为: $x_1 x=2\left(y_1+y\right)$, 直线 $P B$ 直线方程为: $x_2 x=2\left(y_2+y\right)$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}x_1 x=2\left(y_1+y\right) \\ x_2 x=2\left(y_2+y\right)\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 k \\ y=-2\end{array}\right.$, 所以 $P(2 k,-2)$, 所以 $P$ 在直线 $y=-2$ 上运动,
假设存在 $P$ 点使得 $A 、 C 、 P 、 D$ 四点共圆,则 $\angle A C D=\angle A P D=90^{\circ}$, 所以 $k_{P A} \cdot k_{P D}=-1$,
因为 $k_{P A}=\frac{2}{x_1}, k_{P D}=\frac{1}{x_2-2 k}$ 可得 $\frac{2}{x_1\left(x_2-2 k\right)}=-1$, 解得 $x_1=-\frac{3}{k}$,
代入(1)式可得 $\frac{9}{k^2}+4=0$, 该方程无实根,所以不存在 $P$ 点使得 $A 、 C 、 P 、 D$ 四点共圆.


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