某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动 并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填 空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题 作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中.
(1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率;
(2)若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答 题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选 择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.
【答案】 【解析】(1) 设 $A_i$ 表示“第 $i$ 次从乙箱中取到填空题”, $i=1,2$,
$$
P\left(A_1\right)=\frac{3}{7}, \quad P\left(A_2 \mid A_1\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \quad P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 3 \text { 分 }
$$
由全概率公式得: 第 2 次抽到填空㫷的概率为:
$$
P\left(A_2\right)=P\left(A_1\right) \times P\left(A_2 \mid A_1\right)+P\left(\bar{A}_1\right) \times P\left(A_2 \mid \bar{A}_1\right)=\frac{3}{7} \times \frac{2}{6}+\frac{4}{7} \times \frac{3}{6}=\frac{3}{7} ;
$$
(2) 设事件 $A$ 为“第三支部从乙箱中抽 1 个选择题”, 事件 $B_1$ 为“第二支部从甲箱中取出 2 个题都是选择题”,
事件 $B_2$ 为“第二支部从甲箱中取出 1 个选择题 1 个填空题”, 事件 $B_3$ 为“第二支部从甲箱中取出 2 个题都是填空
题", 则 $B_1 、 B_2 、 B_3$ 彼此互斥,且 $B_1 \cup B_2 \cup B_3=\Omega$,
$$
\begin{gathered}
P\left(B_1\right)=\frac{C_5^2}{C_8^2}=\frac{5}{14}, P\left(B_2\right)=\frac{C_5^1 C_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}, P\left(B_3\right)=\frac{C_3^2}{C_8^2}=\frac{3}{28}, \\
P\left(A \mid B_1\right)=\frac{6}{9}, P\left(A \mid B_2\right)=\frac{5}{9}, P\left(A \mid B_3\right)=\frac{4}{9}, \cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 9 \text { 分 } \\
P(A)=P\left(B_1\right) \times P\left(A \mid B_1\right)+P\left(B_2\right) \times P\left(A \mid B_2\right)+P\left(B_3\right) \times P\left(A \mid B_3\right)=\frac{5}{14} \times \frac{6}{9}+\frac{15}{28} \times \frac{5}{9}+\frac{3}{28} \times \frac{4}{9}=\frac{7}{12}, \cdots \cdots \cdots 10 \text { 分 } \\
\text { 所求概率即是 } A \text { 发生的条件下 } B_1 \text { 发生的概率: } P\left(B_1 \mid A\right)=\frac{P\left(B_1 A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(B_1\right) P\left(A \mid B_1\right)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{14} \times \frac{6}{9}}{\frac{7}{12}}=\frac{20}{49}, \cdots 12 \text { 分 }
\end{gathered}
$$


系统推荐