如图, 在三棱柱 $A B C-D E F$ 中, $A D=2 A B=4, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, P$ 为 $A D$ 的中点, $\triangle B C P$ 为等 边三角形, 直线 $A C$ 与平面 $A B E D$ 所成角大小为 $\frac{\pi}{4}$.
(1) 求证: $P E \perp$ 平面 $B C P$;
(2) 求平面 $E C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值.
【答案】 【解析】 (1) 取 $B P$ 中点 $M$, 连接 $A M 、 C M$, 易知 $A M \perp B P$ 且 $C M \perp B P$, 因此 $B P \perp$ 平面 $A C M$, 因为 $B P \subset$ 平面 $A B P$, 所以平面 $A C M \perp$ 平面 $A B P$, 因为平面 $A C M \cap$ 平面 $A B P=A M$,
所以直线 $A C$ 在平面 $A B P$ 的射影在直线 $A M$ 上,所以 $\angle C A M=\frac{\pi}{4}$,
因为 $A M=C M=\sqrt{3}$, 余弦定理可得 $A C=\sqrt{6}$, 因为 $A C^2=A M^2+C M^2$, 所以 $A M \perp C M$,
因为 $C M \perp B P$, 所以 $C M \perp$ 平面 $A B E D$, 因为 $P E \subset$ 平面 $A B E D$, 所以 $C M \perp P E$, 因为 $B P=2$, 在 $\triangle P D E$ 中, $P D=E D=2, \angle P D E=\frac{2}{3} \pi$, 所以 $P E=2 \sqrt{3}$, 又 $B E=4$,
所以 $B P^2+P E^2=B E^2$, 即 $P E \perp B P$ ,
所以 $E P \perp$ 平面 $B C P$;
(2) 由 (1) 可知 $M P 、 M C 、 M A$ 两两垂直, 以 $M$ 为原点, $M A$ 所在直线为 $x$ 轴, $M P$ 所在直线为 $y$ 轴, $M C$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系, 所以 $C(0,0, \sqrt{3}), P(0,1,0), D(-\sqrt{3}, 2,0), E(-2 \sqrt{3}, 1,0)$,
设平面 $E C P$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=\left(x_1, y_1, z_1\right)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{P C}=0 \\ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{P E}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}-y_1+\sqrt{3} z_1=0 \\ -2 \sqrt{3} x_1=0\end{array}\right.\right.$, 令 $y_1=\sqrt{3}$ 得
$$
\overrightarrow{n_1}=(0, \sqrt{3}, 1),
$$

设平面 $P C D$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$,
$$
\text { 则 }\left\{\begin{array} { l }
{ \vec { n _ { 2 } } \cdot \vec { P C } = 0 } \\
{ \vec { n _ { 2 } } \cdot \vec { P D } = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
-y_2+\sqrt{3} z_2=0 \\
y_2-\sqrt{3} x_2=0
\end{array} \text {, 令 } y_2=\sqrt{3} \text { 得 } \overrightarrow{n_2}=(1, \sqrt{3}, 1)\right.\right. \text {, }
$$

所以平面 $E C P$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值为 $\cos \theta=\frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{4}{2 \times \sqrt{5}}=\frac{2}{5} \sqrt{5} $


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