已知在 $\triangle A B C$ 中, 边 $a 、 b 、 c$ 所对的角分别为 $A 、 B 、 C, \frac{\sin (B-A)}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin C}=1$.
(1) 证明: $a 、 b 、 c$ 成等比数列;
(2) 求角 $B$ 的最大值.
【答案】 (1) 通分化简可得 $\sin (B-A) \sin C+\sin ^2 A=\sin A \sin C$ ,
$\sin (B-A) \sin (B+A)+\sin ^2 A=\sin A \sin C$, 即 $\sin ^2 B \cos ^2 A-\cos ^2 B \sin ^2 A+\sin ^2 A=\sin A \sin C$,
即 $\sin ^2 B\left(1-\sin ^2 A\right)-\left(1-\sin ^2 B\right) \sin ^2 A+\sin ^2 A=\sin A \sin C$,
整理得 $\sin ^2 B=\sin A \sin C$, 即 $b^2=a c$, 所以 $a 、 b 、 c$ 成等比数列;


(2) 由 (1) 可得 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}=\frac{a^2+c^2-a c}{2 a c} \geq \frac{2 a c-a c}{2 a c}=\frac{1}{2}$, 所以 $B \leq \frac{\pi}{3}$,
当且仅当 $a=c$ 即 $\triangle A B C$ 为正三角形时等号成立, 所以 $B$ 的最大角为 $\frac{\pi}{3} $


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