已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a \cos x+b x \ln x-b x, a 、 b \in R$.
(1) 若 $b=0$ 且函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是单调递增函数, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $0 < a < 1 ， x_1 、 x_2$ 满足 $f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$, 证明: $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>2 \sqrt{\frac{-b}{1+a}}$.