单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R$, 记 $g(x)=f^{\prime}(x)$, 若 $f(2 x+1), g(x-1)$ 均为偶函数, 则下列等式一定正确的是（）
$\text{A.}$ $f(-1)=0$
$\text{B.}$ $f(3)=f(-5)$
$\text{C.}$ $g(2)=0$
$\text{D.}$ $g\left(-\frac{1}{2}\right)=g\left(\frac{7}{2}\right)$
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $R$, 且 $f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7$. 若 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称, $g(2)=4$, 则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=$
$\text{A.}$ -21
$\text{B.}$ -22
$\text{C.}$ -23
$\text{D.}$ -24
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R , 且 $f(5 x+2)$ 是偶函数, 记 $g(x)=f^{\prime}(x), g(x+1)$ 也是偶函数，则 $f^{\prime}(2022)$ 的值为
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 2
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R , 且 $f(x-1)$ 为奇函数, $f^{\prime}(2-x)+f^{\prime}(x)=2, f^{\prime}(-1)=2$,则 $\sum_{i=1}^{25} f^{\prime}(2 i-1)=(\quad)$
$\text{A.}$ 13
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 25
$\text{D.}$ 51
函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 R , 且 $f(x)+g(4-x)=4, g(x)-f(x-8)=8, g(x)$ 关于 $x=4$ 对称, $g(4)=8$,则 $\sum_{m=1}^{18} f(2 m)$ 的值为 (）
$\text{A.}$ -24
$\text{B.}$ -32
$\text{C.}$ -34
$\text{D.}$ -40
设函数 $f(x)$ 的定义域为 R , 其导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x), f(2 x)+f(2-2 x)=3$, 则下列结论不一定正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(1-x)+f(1+x)=3$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(2-x)=f^{\prime}(2+x)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(f(1-x))=f^{\prime}(f(1+x))$
$\text{D.}$ $f\left(f^{\prime}(x+2)\right)=f\left(f^{\prime}(x)\right)$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 定义域均为 R , 满足 $f\left(\frac{3}{2}+x\right)-f\left(\frac{3}{2}-x\right)=2 x$, 记 $g(x)=f^{\prime}(x)$, 其导函数为 $g^{\prime}(x)$ 且 $g^{\prime}(3-x)$ 的图象关于原点对称, 则 $g^{\prime}(9)+g\left(\frac{9}{2}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 1
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R$, 且满足 $f(x)=2-f(6-x), f^{\prime}(x)=2-f^{\prime}(4-x), f^{\prime}(3)=-1$,若 $g(x)=f(3-x)+5$, 则 $\sum_{k=1}^{18} g^{\prime}(k)=(\quad)$
$\text{A.}$ -18
$\text{B.}$ -20
$\text{C.}$ 88
$\text{D.}$ 90
多选题 （共 13 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)$ 定义域为 $R , f(x+1)$ 是奇函数, $g(x)=(x-1) f(x), f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别是函数 $f(x), g(x)$的导函数，函数 $g(x)$ 在区间 $(-\infty, 1]$ 上单调递增，则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1+x)=f^{\prime}(1-x)$
$\text{C.}$ $g^{\prime}(1+x)=g^{\prime}(1-x)$
$\text{D.}$ $g\left( e ^{0.1}\right) < g(1-\ln 1.1) < 0$
已知定义在 R 上的函数 $f(x)$, 其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域也为 R 。若 $f(x+2)=-f(x)$, 且 $f(x-1)$ 为奇函数, 则 ( )
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $f(2024)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(-x)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)=f^{\prime}(2022-x)$
函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R ，且 $f(x)-f(-x)=2 x, f^{\prime}(1+x)+f^{\prime}(1-x)=0$ ，则（）
$\text{A.}$ $y=f(x)+x$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x+2)=f^{\prime}(x)+2$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R$, 记 $g(x)=f^{\prime}(x), f(2 x-1)+f(3-2 x)=f(-2)$, $g(1-x)+g(-3 x)=g\left(-\frac{1}{2}\right)$, 则（）
$\text{A.}$ $f(4)=0$
$\text{B.}$ $g(2)=g(-1)$
$\text{C.}$ $g\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{D.}$ $g(2022)=g(0)$
已知定义域为 R 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)-f(2-x) \cdot f(2-y)$, 且 $f(0) \neq 0, f(-2)=0$, 则
$\text{A.}$ $f(2)=1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $[f(x)]^2+[f(2+x)]^2=1$
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^{2023} f(i)=1(i \in Z)$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 R , 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称, 且满足 $f(x+3)=f(1-x)$, 则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ 函数 $f(x+1)$ 是奇函数
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 的周期函数
$\text{D.}$ 若函数 $g(x)$ 满足 $g(x)+f(x+3)=2$, 则 $\sum_{k=1}^{2024} g(k)=4048$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R , f(2 x+1)$ 是偶函数, $f(x-1)$ 的图象关于点 $(3,3)$ 中心对称, 则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x)=f(x+2)$
$\text{B.}$ $f(20)=3$
$\text{C.}$ $f(x+2)=f(4 k-x), k \in Z$
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^{4 k-1} f(i)=12 k-3, \quad k \in Z$
定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1+x)+f(1-x)=6, f(2+x)=f(2-x)+2 x$, 则（ ）
$\text{A.}$ $f(1+x)$ 的图象关于 $(0,3)$ 对称
$\text{B.}$ 4 是 $f(x)$ 的一个周期
$\text{C.}$ $f(1)=3$
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^{21} f(i)=273$
已知函数 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 R , 且满足 $f(x)-g(2-x)=4, g(x)+f(x-4)=6, g(3-x)+g(1+x)=0$,则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $f(x)-f(x-2)=-2$
$\text{B.}$ $g(2)=0$
$\text{C.}$ $g(x)$ 的图象关于点 $(3,0)$ 对称
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{60} f(n)=-1590$
定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+3)+f(x+1)=0, f(2-x)=f(x+4), f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ ，则（）
$\text{A.}$ $f(2)=0$
$\text{B.}$ $f(x)+f(-x)=0$
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{100} f\left(\frac{k}{2}\right)=1$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{100} k f\left(k-\frac{1}{2}\right)=-100$
设定义在 R 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导数分别为 $f^{\prime}(x)$ 与 $g^{\prime}(x)$, 已知 $f(x)=g(3-x)-1, f^{\prime}(x+1)=g^{\prime}(x)$,且 $f^{\prime}(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，则下列结论一定成立的是（）
$\text{A.}$ $f(x)+f(2-x)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(2)=0$
$\text{C.}$ $g(1-x)=g(1+x)$
$\text{D.}$ $g^{\prime}(x)+g^{\prime}(2-x)=0$
设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$, 且 $f(x+2)-g(1-x)=2$, $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x+1)$ ，且 $g(x+1)$ 为奇函数，则（）
$\text{A.}$ 函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称
$\text{B.}$ 函数 $y=g^{\prime}(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{2022} g(k)=0$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=0$
已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数, $f(x+1)$ 是偶函数, 且当 $x \in(0,1]$ 时, $f(x)=-x(x-2)$, 则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是周期为 2 的函数
$\text{B.}$ $f(2019)+f(2020)=-1$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的值域为 $[-1,1]$
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象与曲线 $y=\cos x$ 在 $(0,2 \pi)$ 上有 4 个交点