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函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 R ，且 $f(x)-f(-x)=2 x, f^{\prime}(1+x)+f^{\prime}(1-x)=0$ ，则（）
A. $y=f(x)+x$ 为偶函数     B. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称     C. $f^{\prime}(0)=1$     D. $f^{\prime}(x+2)=f^{\prime}(x)+2$         
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