设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$, 且 $f(x+2)-g(1-x)=2$, $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x+1)$ ，且 $g(x+1)$ 为奇函数，则（）
A. 函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称
B. 函数 $y=g^{\prime}(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称
C. $\sum_{k=1}^{2022} g(k)=0$
D. $\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=0$