已知函数 $f(x)$ 定义域为 $R , f(x+1)$ 是奇函数, $g(x)=(x-1) f(x), f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别是函数 $f(x), g(x)$的导函数，函数 $g(x)$ 在区间 $(-\infty, 1]$ 上单调递增，则
A
$f(1)=0$
B
$f^{\prime}(1+x)=f^{\prime}(1-x)$
C
$g^{\prime}(1+x)=g^{\prime}(1-x)$
D
$g\left( e ^{0.1}\right) < g(1-\ln 1.1) < 0$
E
F