单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid y=\lg x\}, B=\left\{y \mid y=x^2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $A \cup B=\mathbf{R}$
$\text{B.}$ $\complement_{\mathrm{k}} A \subseteq B$
$\text{C.}$ $A \cap B=B$
$\text{D.}$ $A \subseteq B$
已知 $z$ 是方程 $x^2-2 x+2=0$ 的一个根, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2$
函数 $f(x)=\frac{\ln |x|-x^2+2}{x}$ 的图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
中国古代数学专著 《九章算术》的第一章 “方田” 中载有 “半周半径相乘得积步”, 其大意为: 圆的半 周长乘以其半径等于圆面积. 南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积 “替代” 圆的面 积, 并通过增加圆内接正多边形的边数 $n$ 使得正多边形的面积更接近圆的面积, 从而更为 “精确” 地估计 圆周率 $\pi$. 据此, 当 $n$ 足够大时, 可以得到 $\pi$ 与 $n$ 的关系为
$\text{A.}$ $\pi \approx \frac{n}{2} \sin \frac{360^{\circ}}{n}$
$\text{B.}$ $\pi \approx n \sin \frac{180^{\circ}}{n}$
$\text{C.}$ $\pi \approx \sqrt[n]{2\left(1-\cos \frac{360^{\circ}}{n}\right)}$
$\text{D.}$ $\pi \approx \frac{n}{2} \sqrt{1-\cos \frac{180^{\circ}}{n}}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$, 左、右焦点分别为 $F_1, F_2, F_2$ 关于 $C$ 的一条 渐近线的对称点为 $P$. 若 $\left|P F_1\right|=2$, 则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{5}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献, 很好地展示了国家形象、增进了国际友 谊, 多次为祖国贏得了荣誉. 现有 5 支救援队前往 $A 、 B 、 C$ 等 3 个受灾点执行救援任务, 若每支救援队 只能去其中的一个受灾点, 且每个受灾点至少安排 1 支救援队, 其中甲救援队只能去 B、C 两个受灾点中 的一个, 则不同的安排方法数是
$\text{A.}$ 72
$\text{B.}$ 84
$\text{C.}$ 88
$\text{D.}$ 100
已知 $a=\ln 2, b=\mathrm{e}-\frac{1}{a}, c=2^a-a$, 则
$\text{A.}$ $b>c>a$
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $c>b>a$
已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则 $P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827, P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545$,
$P(\mu-3 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$. 今有一批数量庞大的零件. 假设这批零件的某项质量指标 $\xi$ (单位:
亳米) 服从正态分布 $N\left(5.40,0.05^2\right)$, 现从中随机抽取 $N$ 个, 这 $N$ 个零件中恰有 $K$ 个的质量指标 $\xi$ 位于
区间 $(5.35,5.55)$. 若 $K=45$, 试以使得 $P(K=45)$ 最大的 $N$ 值作为 $N$ 的估计值, 则 $N$ 为
$\text{A.}$ 45
$\text{B.}$ 53
$\text{C.}$ 54
$\text{D.}$ 90
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(-4,2)$, 则
$\text{A.}$ $(a-b) \perp(a+b)$
$\text{B.}$ $|a-b|=|a+b|$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量是 $-\boldsymbol{a}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 上的投影向量是 $(-3,4)$
已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0)$ 满足: $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=0$, 则
$\text{A.}$ 曲线 $y=f(x)$ 关于直线 $x=\frac{7 \pi}{6}$ 对称
$\text{B.}$ 函数 $y=f\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 是奇函数
$\text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right)$ 单调递减
$\text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$
已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 点 $P$ 在 $C$ 上, $P Q$ 垂直 $l$ 于点 $Q$, 直线 $Q F$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点. 若 $M$ 为 $Q F$ 的三等分点, 则
$\text{A.}$ $\cos \angle P Q M=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\sin \angle Q P M=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$\text{C.}$ $N F=Q F$
$\text{D.}$ $P N=\sqrt{3} P Q$
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, M$ 为侧面 $A A_1 D_1 D$ 上的点, $N$ 为侧面 $C C_1 D_1 D$ 上的点, 则下 列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $B M=\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $M$ 到直线 $A_1 D$ 的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ 若 $B_1 N \perp A C_1$, 则 $N \in C D_1$, 且直线 $B_1 N / /$ 平面 $A_1 B D$
$\text{C.}$ 若 $M \in A_1 D$, 则 $B_1 M$ 与平面 $A_1 B D$ 所成角正弦的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ 若 $M \in A_1 D, N \in C D_1$, 则 $M, N$ 两点之间距离的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
写出过点 $(2,0)$ 且被圆 $x^2-4 x+y^2-2 y+4=0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的一条直线的方程
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递增的等比数列, $a_4+a_5=24, a_3 a_6=128$, 则公比 $q$ 的值是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-2 x}-1, \quad x \leqslant 0 \\ \frac{1}{2} \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$, 若 $x(f(x)-a|x|) \leqslant 0$, 则 $a$ 的取值范围是
如图, 一张 $\mathrm{A} 4$ 纸的长 $A D=2 \sqrt{2} a$, 宽 $A B=2 a, M, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中 点. 现将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 折起, 得到以 $A, B, C, D$ 为顶点的三棱锥, 则三棱锥 $A-B C D$ 的外接球 $O$ 的半径为 ：在翻折的过程中, 直线 $M N$ 被球 $O$ 截 得的线段长的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=2 c \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $c=1, D$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆上的点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}^2$, 求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$a_1=1, a_2=8, a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}$$
(1) 证明: $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列;
(2) 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n>2023$, 求 $n$ 的最小值.
放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一. 某机场自 2012 年起采取相关策略优化 各个服务环节, 运行效率不断提升. 以下是根据近 10 年年份数 $x_i$ 与该机场飞往 $\mathrm{A}$ 地航班放行准点率 $y_i(i=1,2, \cdots, 10)$ (单位: 百分比) 的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
其中 $t_i=\ln \left(x_i-2012\right), \quad \bar{t}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} t_i$.
(1) 根据散点图判断, $y=b x+a$ 与 $y=c \ln (x-2012)+d$ 哪一个适宜作为该机场飞往 A 地航班放行准 点率 $y$ 关于年份数 $x$ 的经验回归方程类型 (给出判断即可, 不必说明理由), 并根据表中数据建立经验回归 方程, 由此预测 2023 年该机场飞往 $\mathrm{A}$ 地的航班放行准点率.
(2) 已知 2023 年该机场飞往 A 地、B 地和其他地区的航班比例分别为 $0.2 、 0.2$ 和 0.6 . 若以 (1) 中 的预测值作为 2023 年该机场飞往 A 地航班放行准点率的估计值, 且 2023 年该机场飞往 B 地及其他地区 (不包含 A、B 两地) 航班放行准点率的估计值分别为 $80 \%$ 和 $75 \%$, 试解决以下问题:
(i) 现从 2023 年在该机场起飞的航班中随机抽取一个, 求该航班准点放行的概率;
(ii) 若 2023 年某航班在该机场准点放行, 判断该航班飞往 A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪 种情况的可能性最大, 说明你的理由.
附: (1) 对于一组数据 $\left(u_1, v_1\right),\left(u_2, v_2\right), \cdots,\left(u_n, v_n\right)$, 其回归直线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为 $\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(u_i-\bar{u}\right)\left(v_i-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(u_i-\bar{u}\right)^2}=\frac{\sum_{i=1}^n u_i v_i-n \bar{u}}{\sum_{i=1}^n u_i^2-n u^2}, \hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta} \bar{u}$;
(2) 参考数据: $\ln 10 \approx 2.30, \ln 11 \approx 2.40, \ln 12 \approx 2.48$.
如图, 已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为菱形, 且 $\angle A B C=60, A B=P C=2, P A=P B=\sqrt{2} . M$ 是 棱 $P D$ 上的点, 且四面体 $M P B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
(1) 证明: $P M=M D$;
(2) 若过点 $C, M$ 的平面 $\alpha$ 与 $B D$ 平行, 且交 $P A$ 于点 $Q$, 求平面 $B C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.
已知圆 $A_1:(x+1)^2+y^2=16$, 直线 $l_1$ 过点 $A_2(1,0)$ 且与圆 $A_1$ 交于点 $B, C, B C$ 中点为 $D$, 过 $A_2 C$ 中点 $E$
且平行于 $A_1 D$ 的直线交 $A_1 C$ 于点 $P$, 记 $P$ 的轨迹为 $\Gamma$.
(1) 求 $\Gamma$ 的方程;
(2) 坐标原点 $O$ 关于 $A_1, A_2$ 的对称点分别为 $B_1, B_2$, 点 $A_1, A_2$ 关于直线 $y=x$ 的对称点分别为 $C_1, C_2$, 过 $A_1$ 的直线 $l_2$ 与 $\Gamma$ 交于点 $M, N$, 直线 $B_1 M, B_2 N$ 相交于点 $Q$. 请从下列结论中, 选择一个正确的结论并给予 证明.
①$\triangle Q B_1 C_1$ 的面积是定值;② $\triangle Q B_1 B_2$ 的面积是定值:③$\triangle Q C_1 C_2$ 的面积是定值.
已知函数 $f(x)=(x+a) \mathrm{e}^x, a \in \mathbf{R}$.
(1) 讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性;
(2) 是否存在 $a, x_0, x_1$, 且 $x_0 \neq x_1$, 使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 和 $x=x_1$ 处有相同的切线? 证明你的结 论.