福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答

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福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ y = \lg x}, B = {y ∣ y = x^{2}}

, 则

A.

A \cup B = R

B.

∁_{k} A \subseteq B

C.

A \cap B = B

D.

A \subseteq B

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2. 已知

z

是方程

x^{2} - 2 x + 2 = 0

的一个根, 则

| z | =

A.

1

B.

\sqrt{2}

C.

\sqrt{2}

D.

2

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3. 函数

f (x) = \frac{\ln | x | - x^{2} + 2}{x}

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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4. 中国古代数学专著《九章算术》的第一章 “方田” 中载有 “半周半径相乘得积步”, 其大意为: 圆的半周长乘以其半径等于圆面积. 南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积 “替代” 圆的面积, 并通过增加圆内接正多边形的边数

n

使得正多边形的面积更接近圆的面积, 从而更为 “精确” 地估计圆周率

π

. 据此, 当

n

足够大时, 可以得到

π

与

n

的关系为

A.

π \approx \frac{n}{2} \sin \frac{360^{\circ}}{n}

B.

π \approx n \sin \frac{180^{\circ}}{n}

C.

π \approx \sqrt[n]{2 (1 - \cos \frac{360^{\circ}}{n})}

D.

π \approx \frac{n}{2} \sqrt{1 - \cos \frac{180^{\circ}}{n}}

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5. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\sqrt{5}

, 左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, F_{2}

关于

C

的一条渐近线的对称点为

P

. 若

| P F_{1} | = 2

, 则

△ P F_{1} F_{2}

的面积为

A.

B.

\sqrt{5}

C.

D.

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6. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献, 很好地展示了国家形象、增进了国际友谊, 多次为祖国贏得了荣誉. 现有 5 支救援队前往

A 、 B 、 C

等 3 个受灾点执行救援任务, 若每支救援队只能去其中的一个受灾点, 且每个受灾点至少安排 1 支救援队, 其中甲救援队只能去 B、C 两个受灾点中的一个, 则不同的安排方法数是

A.

B.

C.

D.

100

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7. 已知

a = \ln 2, b = e - \frac{1}{a}, c = 2^{a} - a

, 则

A.

b > c > a

B.

b > a > c

C.

c > a > b

D.

c > b > a

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8. 已知

X \sim N (μ, σ^{2})

, 则

P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545

P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973

. 今有一批数量庞大的零件. 假设这批零件的某项质量指标

ξ

(单位:
亳米) 服从正态分布

N (5.40, {0.05}^{2})

, 现从中随机抽取

N

个, 这

N

个零件中恰有

K

个的质量指标

ξ

位于
区间

(5.35, 5.55)

. 若

K = 45

, 试以使得

P (K = 45)

最大的

N

值作为

N

的估计值, 则

N

为

A.

B.

C.

D.

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知向量

a = (1, 2), b = (- 4, 2)

, 则

A.

(a - b) ⊥ (a + b)

B.

| a - b | = | a + b |

C.

b - a

在

a

上的投影向量是

- a

D.

a

在

a + b

上的投影向量是

(- 3, 4)

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10. 已知函数

f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)

满足:

f (\frac{π}{6}) = 2, f (\frac{2 π}{3}) = 0

, 则

A.

曲线

y = f (x)

关于直线

x = \frac{7 π}{6}

对称

B.

函数

y = f (x - \frac{π}{3})

是奇函数

C.

函数

y = f (x)

在

(\frac{π}{6}, \frac{7 π}{6})

单调递减

D.

函数

y = f (x)

的值域为

[- 2, 2]

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11. 已知抛物线

C

的焦点为

F

, 准线为

l

, 点

P

在

C

上,

P Q

垂直

l

于点

Q

, 直线

Q F

与

C

相交于

M, N

两点. 若

M

为

Q F

的三等分点, 则

A.

\cos ∠ P Q M = \frac{1}{2}

B.

\sin ∠ Q P M = \frac{2 \sqrt{7}}{7}

C.

N F = Q F

D.

P N = \sqrt{3} P Q

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12. 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长为

1, M

为侧面

A A_{1} D_{1} D

上的点,

N

为侧面

C C_{1} D_{1} D

上的点, 则下列判断正确的是

A.

若

B M = \frac{\sqrt{5}}{2}

, 则

M

到直线

A_{1} D

的距离的最小值为

\frac{\sqrt{2}}{4}

B.

若

B_{1} N ⊥ A C_{1}

, 则

N \in C D_{1}

, 且直线

B_{1} N / /

平面

A_{1} B D

C.

若

M \in A_{1} D

, 则

B_{1} M

与平面

A_{1} B D

所成角正弦的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

若

M \in A_{1} D, N \in C D_{1}

, 则

M, N

两点之间距离的最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 写出过点

(2, 0)

且被圆

x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y + 4 = 0

截得的弦长为

\sqrt{2}

的一条直线的方程

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14. 已知

{a_{n}}

是单调递增的等比数列,

a_{4} + a_{5} = 24, a_{3} a_{6} = 128

, 则公比

q

的值是

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15. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} e^{- 2 x} - 1, x ⩽ 0 \\ \frac{1}{2} \ln (x + 1), x > 0 \end{cases}

, 若

x (f (x) - a | x |) ⩽ 0

, 则

a

的取值范围是

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16. 如图, 一张

A 4

纸的长

A D = 2 \sqrt{2} a

, 宽

A B = 2 a, M, N

分别是

A D, B C

的中点. 现将

△ A B D

沿

B D

折起, 得到以

A, B, C, D

为顶点的三棱锥, 则三棱锥

A - B C D

的外接球

O

的半径为：在翻折的过程中, 直线

M N

被球

O

截得的线段长的取值范围是

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b = 2 c \sin (A + \frac{π}{6})

.
(1) 求

C

;
(2) 若

c = 1, D

为

△ A B C

的外接圆上的点,

\vec{B A} \cdot \vec{B D} = {\vec{B A}}^{2}

, 求四边形

A B C D

面积的最大值.

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18. 已知数列

{a_{n}}

满足:

a_{1} = 1, a_{2} = 8, a_{2 n - 1} + a_{2 n + 1} = \log_{2} a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n + 2} = 16^{a_{2 n + 1}}

(1) 证明:

{a_{2 n - 1}}

是等差数列;
(2) 记

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}, S_{n} > 2023

, 求

n

的最小值.

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19. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一. 某机场自 2012 年起采取相关策略优化各个服务环节, 运行效率不断提升. 以下是根据近 10 年年份数

x_{i}

与该机场飞往

A

地航班放行准点率

y_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)

(单位: 百分比) 的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.

其中

t_{i} = \ln (x_{i} - 2012), \bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}

.
(1) 根据散点图判断,

y = b x + a

与

y = c \ln (x - 2012) + d

哪一个适宜作为该机场飞往 A 地航班放行准点率

y

关于年份数

x

的经验回归方程类型 (给出判断即可, 不必说明理由), 并根据表中数据建立经验回归方程, 由此预测 2023 年该机场飞往

A

地的航班放行准点率.
(2) 已知 2023 年该机场飞往 A 地、B 地和其他地区的航班比例分别为

0.2 、 0.2

和 0.6 . 若以 (1) 中的预测值作为 2023 年该机场飞往 A 地航班放行准点率的估计值, 且 2023 年该机场飞往 B 地及其他地区 (不包含 A、B 两地) 航班放行准点率的估计值分别为

80 %

和

75 %

, 试解决以下问题:
(i) 现从 2023 年在该机场起飞的航班中随机抽取一个, 求该航班准点放行的概率;
(ii) 若 2023 年某航班在该机场准点放行, 判断该航班飞往 A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大, 说明你的理由.
附: (1) 对于一组数据

(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), \dots, (u_{n}, v_{n})

, 其回归直线

v = α + β u

的斜率和截距的最小二乘估计
分别为

\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n u^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}

;
(2) 参考数据:

\ln 10 \approx 2.30, \ln 11 \approx 2.40, \ln 12 \approx 2.48

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20. 如图, 已知四棱锥

P - A B C D

的底面为菱形, 且

∠ A B C = 60, A B = P C = 2, P A = P B = \sqrt{2} . M

是棱

P D

上的点, 且四面体

M P B C

的体积为

\frac{\sqrt{3}}{6}

.
(1) 证明:

P M = M D

;
(2) 若过点

C, M

的平面

α

与

B D

平行, 且交

P A

于点

Q

, 求平面

B C Q

与平面

A B C D

夹角的余弦值.

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21. 已知圆

A_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16

, 直线

l_{1}

过点

A_{2} (1, 0)

且与圆

A_{1}

交于点

B, C, B C

中点为

D

, 过

A_{2} C

中点

E

且平行于

A_{1} D

的直线交

A_{1} C

于点

P

, 记

P

的轨迹为

Γ

.
(1) 求

Γ

的方程;
(2) 坐标原点

O

关于

A_{1}, A_{2}

的对称点分别为

B_{1}, B_{2}

, 点

A_{1}, A_{2}

关于直线

y = x

的对称点分别为

C_{1}, C_{2}

, 过

A_{1}

的直线

l_{2}

与

Γ

交于点

M, N

, 直线

B_{1} M, B_{2} N

相交于点

Q

. 请从下列结论中, 选择一个正确的结论并给予证明.
①

△ Q B_{1} C_{1}

的面积是定值;②

△ Q B_{1} B_{2}

的面积是定值:③

△ Q C_{1} C_{2}

的面积是定值.

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22. 已知函数

f (x) = (x + a) e^{x}, a \in R

.
(1) 讨论

f (x)

在

(0, + \infty)

的单调性;
(2) 是否存在

a, x_{0}, x_{1}

, 且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得曲线

y = f (x)

在

x = x_{0}

和

x = x_{1}

处有相同的切线? 证明你的结论.

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