福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l$, 点 $P$ 在 $C$ 上, $P Q$ 垂直 $l$ 于点 $Q$, 直线 $Q F$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点. 若 $M$ 为 $Q F$ 的三等分点, 则

$ \text{A.}$ $\cos \angle P Q M=\frac{1}{2}$ $ \text{B.}$ $\sin \angle Q P M=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ $ \text{C.}$ $N F=Q F$ $ \text{D.}$ $P N=\sqrt{3} P Q$

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答案：

ACD

解析：

过点 $M$ 作准线 $l$ 的垂线, 垂足为 $M_1$, 作 $P Q$ 的垂线, 垂足为 $M_2$, 则 $|Q M|=2|M F|=2\left|M M_1\right|$, $\therefore \angle Q M M_1=60^{\circ}, \therefore \angle P Q M=\angle Q M M_1=60^{\circ}, \cos \angle P Q M=\frac{1}{2}$, A 正确, 又 $|P Q|=|P F|$, 所以 $\triangle P Q F$ 为等边三角形, 直线 $P F$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$, 直线 $Q F$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$, 由对称性可知点 $P$ 和点 $N$ 关于 $x$ 轴对称, $\therefore P N \perp x$ 轴, $\therefore P N \perp P Q$, 在 Rt $\triangle P Q N$ 中, $P N=\sqrt{3} P Q, Q N=2 Q P=2 Q F, \therefore N F=Q F$, 故 C, D 正确; 不妨设 $\triangle P Q F$ 的边长为 3 , 则 $Q M_2=1, P M_2=2,\left|M M_2\right|=\sqrt{3},|P M|=\sqrt{7}$, $\sin \angle Q P M=\frac{\left|M M_2\right|}{|P M|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$, 所以 $\mathrm{B}$ 错误.

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