题号:
6041
题型:
解答题
来源:
福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$a_1=1, a_2=8, a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}$$
(1) 证明: $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列;
(2) 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n>2023$, 求 $n$ 的最小值.
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答案：
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解法一:（1）由 $a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}$, 得 $a_{2 n}=2^{a_{2 n-1}+a_{2 n-1}}$,
则 $a_{2 n+2}=2^{a_{2 n+1}+a_{2 n 3}}$, 从而 $a_{2 n} a_{2 n+2}=2^{a_{2 n-1}+a_{2 n+1}} \cdot 2^{a_{2 n+1}+a_{2 n+3}}=2^{a_{2 n-1}+2 a_{2 n+1}+a_{2 n+3}}$,
$$
\text { 又 } a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}=2^{4 a_{2 n+1}} \text {, }
$$
所以 $a_{2 n-1}+2 a_{2 n+1}+a_{2 n+3}=4 a_{2 n+1}$,
即 $a_{2 n-1}+a_{2 n+3}=2 a_{2 n+1}$, 所以 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列.
(2) 设等差数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 的公差为 $d$.
当 $n=1$ 时, $a_1+a_3=\log _2 a_2$, 即 $1+a_3=\log _2 8$,
所以 $a_3=2$, 所以 $d=a_3-a_1=1$,
所以数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 1 的等差数列,
所以 $a_{2 n-1}=n$;
$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } a_{2 n}=2^{a_{2 n-1}+a_{2 n+1}}=2^{n+(n+1)}=2^{2 n+1} ; \\
& S_9=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=\left(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9\right)+\left(a_2+a_4+a_6+a_8\right) \\
& \quad=(1+2+3+4+5)+\left(2^3+2^5+2^7+2^9\right)=15+680=695 < 2023, \\
& \text { 又 } S_{10}=S_9+a_{10}=695+2^{11}=2743>2023 \text { ； }
\end{aligned}
$$
$$
\text { 又 } S_{10}=S_9+a_{10}=695+2^{11}=2743>2023 \text {; }
$$
又 $a_n>0$, 则 $S_n < S_{n+1}$, 且 $S_9 < 2023 < S_{10}$,
所以 $n$ 的最小值为 10
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