已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$a_1=1, a_2=8, a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}$$
(1) 证明: $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列;
(2) 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n>2023$, 求 $n$ 的最小值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$