题号:
6039
题型:
填空题
来源:
福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答
如图, 一张 $\mathrm{A} 4$ 纸的长 $A D=2 \sqrt{2} a$, 宽 $A B=2 a, M, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中 点. 现将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 折起, 得到以 $A, B, C, D$ 为顶点的三棱锥, 则三棱锥 $A-B C D$ 的外接球 $O$ 的半径为 ：在翻折的过程中, 直线 $M N$ 被球 $O$ 截 得的线段长的取值范围是
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答案：
答案：
$\sqrt{3} a ;\left(\frac{2 \sqrt{21}}{3} a, 2 \sqrt{3} a\right)$
解析：
设 $A C \cap B D=O$, 则在折叠过程中, 始终有 $O A=O B=O C=O D=\sqrt{3} a$, 所以点 $O$ 即为三棱
锥 $A-B C D$ 的外接球的球心, 且外接球的半径为 $R=\sqrt{3} a$;
在平面图形中, 连接 $A N$, 交 $B D$ 于点 $F$, 易证得 $A N \perp B D$, 过 $M$ 作 $M E \perp A N$ 于点 $E$, 则折叠后有 $M E \perp$ 平面 $E F N$, 所以 $E M \perp E N$, 求得 $E F=F N=\frac{\sqrt{6}}{3} a$, 则在 $\triangle E F N$ 中, 可得 $E N \in\left(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3} a\right)$,
又 $E M=\frac{2 \sqrt{3} a}{3}$, 所以 $M N=\sqrt{E N^2+E M^2} \in\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} a, 2 a\right)$, 在等腰三角形 $M O N$ 中可得圆心 $O$ 到直线
$M N$ 的距离 $d=\sqrt{O M^2-\left(\frac{M N}{2}\right)^2} \in\left(0, \frac{\sqrt{6}}{3} a\right)$,
所以直线 $M N$ 被球 $O$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{R^2-d^2} \in\left(\frac{2 \sqrt{21}}{3} a, 2 \sqrt{3} a\right)$.
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