福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

写出过点 $(2,0)$ 且被圆 $x^2-4 x+y^2-2 y+4=0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的一条直线的方程

答案：

$y=x-2, y=-x+2$ (只需填其中一个即可)

解析：

圆 $C:(x-2)^2+(y-1)^2=1$, 圆心 $C(2,1)$, 半径 $r=1$, 显然过点 $(2,0)$ 的直线斜率存在, 设为 $k$,
则直线 $l: k x-y-2 k=0$, 设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$, 则弦长为 $2 \sqrt{r^2-d^2}=2 \sqrt{1-d^2}=\sqrt{2}$,
解得 $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以 $d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 解得 $k= \pm 1$, 故所求直线方程为 $y=x-2$ 或 $y=-x+2$.

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