福建省2023届高中毕业班数学学科适应性练习试题及解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0)$ 满足: $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=0$, 则

$ \text{A.}$ 曲线 $y=f(x)$ 关于直线 $x=\frac{7 \pi}{6}$ 对称 $ \text{B.}$ 函数 $y=f\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 是奇函数 $ \text{C.}$ 函数 $y=f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right)$ 单调递减 $ \text{D.}$ 函数 $y=f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$

0 人点赞纠错

12 次查看我来讲解

答案：

ABD

解析：

$f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3} \cos \omega x=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$, 所以函数 $y=f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$, D 正确: 又因为 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2, f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=0$, 可得 $\left(n+\frac{1}{4}\right) T=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}, \therefore T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{4 n+1}$, 所以 $\pi=(4 n+1) \cdot \frac{T}{2}$, 即 $\pi$ 是半周期的整数倍, 因为 $x=\frac{\pi}{6}$ 是函数 $f(x)$ 的对称轴, 所以 $x=\frac{7 \pi}{6}$ 也是函数 $f(x)$ 的对称轴, A 正确; 又因为 $f(x)$ 关于 $\left(\frac{2 \pi}{3}, 0\right)$ 对称, 所以 $f(x)$ 也关于 $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 对称, 所以函数 $y=f\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 是奇函数, B 正确, 当 $\omega=13$ 时, 满足题意, 此时周期 $T=\frac{2 \pi}{13}$, 显然 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right)$ 上不单调, 所以 $\mathrm{C}$ 错误.

关闭页面下载Word格式