百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学



单选题 (共 12 题 ),每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid x-2 \leq 0\}$, 集合 $B=\{0,1,2,3\}$, 集合 $C=\{x \mid-1 < x < 1\}$, 则 $(A \cap B) \cup C=$
$\text{A.}$ $(-1,1]$ $\text{B.}$ $(-1,1] \cup\{2\}$ $\text{C.}$ $(-1,2]$ $\text{D.}$ $\{0\}$

已知复数 $z$ 满足 $(1+\mathrm{i}) z=2-\mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限 $\text{B.}$ 第二象限 $\text{C.}$ 第三象限 $\text{D.}$ 第四象限

已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 均为公差不为 0 的等差数列, 且满足 $a_3=b_2, a_6=b_4$, 则 $\frac{a_4-a_1}{b_3-b_2}=( )$
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{D.}$ 3

已知指数函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 相切于点 $P$, 则 $f(x)$ 的解析式可能是
$\text{A.}$ $y=\mathrm{e}^x$ $\text{B.}$ $y=(\sqrt{2})^x$ $\text{C.}$ $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{e}}$ $\text{D.}$ $y=\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^x$

若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y \geq 7, \\ 3 x-2 y \leq 1, \\ 3 x-2 y \geq-1,\end{array}\right.$ 则 $z=y-3 x$ 的最大值为
$\text{A.}$ $-\frac{43}{11}$ $\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$ $\text{C.}$ $-1$ $\text{D.}$ $-\frac{31}{11}$

记 $S_n$ 为各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $S_3=\frac{7}{8}, a_3=\frac{1}{2}$, 则 $a_5=$ ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{8}$ $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2

如图是某个函数 $y=f(x)$的图象的一部分, 则该函数可能是
$\text{A.}$ $y=\left(x^3-x\right) \cdot \sin x$ $\text{B.}$ $y=\left(x^2-1\right) \cdot \tan x$ $\text{C.}$ $y=\frac{\tan x}{2^x-2^{-x}}$ $\text{D.}$ $y=\frac{x^3-x}{\cos x}$

《天才引导的过程一一数学中的伟大定理》的作者威廉 - 邓纳姆曾写道: “如果你想要做 加法你需要 0 , 如果你想要做乘法你需要 1 , 如果你想要做微积分你需要 $\mathrm{e}$, 如果你想要做 几何你需要 $\pi$, 如果你想要做复分析你需要 $\mathrm{i}$, 这是数学的梦之队, 他们都在这个方程 里.” 这里指的方程就是: $\mathrm{e}^{x+\mathrm{i} y}=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i} \sin y)$, 令 $x=0, y=\pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}=-1$, 令 $x=0, y=n \pi$, 则 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}=\cos n \pi+\mathrm{i} \sin n \pi$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则下列结论正确的个数是()
① $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列
②$a_{2 n}=a_n^2$
③ $S_{21}=1$
④ $a_{n+2}=a_n$
$\text{A.}$ 1个 $\text{B.}$ 2个 $\text{C.}$ 3个 $\text{D.}$ 4个

在 $\triangle A B C$ 中, 点 $F$ 为 $A B$ 的中点, $\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E A}, B E$ 与 $C F$ 交于点 $P$, 且满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B E}$, 则 $\lambda$ 的值为 ( )
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{4}{7} \sqrt{V}$ $\text{C.}$ $\frac{3}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{2}{3}$

设 $a=\ln \frac{2023}{2022}, b=\frac{1}{2022}, c=\log _2 \frac{1}{2023}$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$ $\text{B.}$ $c < b < a$ $\text{C.}$ $b < c < a$ $\text{D.}$ $c < a < b$

已知 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数, 若 $y=f(2 x+1)$ 的最小正周期为 1 , 则下列 说法一定正确的是
$\text{A.}$ $f(x+1)=f(-x+1)$ $\text{B.}$ 1 是 $f(x)$ 的一个周期 $\text{C.}$ $f(1)=f(-1)=0$ $\text{D.}$ $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)=1$

在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{b c \cdot \sin A}$, 且 $\sin (C-B)=\frac{1}{2} \sin A$, 则 $c^2-b^2=(\quad)$
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ $\frac{5}{2}$

填空题 (共 4 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
若单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+2 \vec{b}|=\sqrt{3}$, 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为


若 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度得到 $y=\cos 2 x$ 的图象, 则 $\varphi$ 的值可以是 . (写出满足条件的一个值即可)


已知点 $P(m, n)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 图象上的点, 当 $m>1$ 时, $2 m+n$ 的最小值为


已知关于 $x$ 的方程 $(\ln x)^2-3 a x \ln x+2 a^2 x^2=0$ 有 4 个不等实数根, 则 $a$ 的取值范围 是


解答题 (共 7 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\vec{a}=(\sin x+\cos x, 2 \cos \theta), \vec{b}=\left(2 \sin \theta, \frac{1}{2} \sin 2 x\right)$.
(1) 若 $\vec{c}=(-3,4)$, 且 $x=\frac{\pi}{4}, \theta \in(0, \pi)$ 时, $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为钝角, 求 $\cos \theta$ 的取值范 围;
(2) 若 $\theta=\frac{\pi}{3}$, 函数 $f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}$, 求 $f(x)$ 的最小值.



已知数列 $\left\{a_n \right\}$ 满足 $$
a_{n+1} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a_n+1, n \text { 为奇数时 } \\
a_n-2, n \text { 为偶数时 }
\end{array}\right.
$$, $a_1=1$

若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项组成的数列, $\left\{c_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的偶数项组成的数列, 求出 $c_1, c_2, c_3$, 并证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 22 项和.



已知公比的绝对值大于 1 的无穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的前三项恰为 $-32,-2$, 3,8 中的三个数, $S_n$ 为数列 $\left\{(2 n+1) a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1) 求 $S_n$;
(2)设数列 $\left\{\frac{10 \times(-4)^{n-1}}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求证: $-\frac{10}{9} \leq T_n \leq-\frac{30}{31}$.



如图, $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 为边 $B C$ 上一点, 且满足 $\frac{A D}{A B}=\frac{C D}{B C}$.
(1) 证明: $\angle B A C+\angle D A C=\pi$;
(2) 若 $A B=2, A C=1, B C=\sqrt{7}$, 求 $\triangle A B D$ 的面积.




已知 $f(x)=\mathrm{e}^x-a \sin x-1$.
(1)当 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时, $f(x) \geq 0$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 当 $a>1$ 时, 求 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上的零点个数.



在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}, \\ y=t-1\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数), 曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=5+\cos \theta \\ y=-2+\sin \theta\end{array}(\theta\right.$ 为参数 $)$.
(1) 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求曲线 $C_2$ 的极坐标方程与 $C_1$ 的普通方程;
(2) 若 $A, B$ 分别为曲线 $C_1$, 曲线 $C_2$ 上的动点, 求 $|A B|$ 的最小值.



已知函数 $f(x)=|x+2|+|x-n|$.
(1) 若对 $\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \geq 2$ 恒成立, 求实数 $n$ 的取值范围;
(2) 若 $f(x)$ 的最小值为 4 , 且正数 $a, b, c$ 满足 $a+2 b+c=n$, 求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值



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