百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学

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百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ x - 2 \leq 0}

, 集合

B = {0, 1, 2, 3}

, 集合

C = {x ∣ - 1 < x < 1}

, 则

(A \cap B) \cup C =

A.

(- 1, 1]

B.

(- 1, 1] \cup {2}

C.

(- 1, 2]

D.

{0}

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2. 已知复数

z

满足

(1 + i) z = 2 - i

, 其中

i

为虚数单位, 则在复平面内

\bar{z}

对应的点位于

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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3. 已知数列

{a_{n}}, {b_{n}}

均为公差不为 0 的等差数列, 且满足

a_{3} = b_{2}, a_{6} = b_{4}

, 则

\frac{a_{4} - a_{1}}{b_{3} - b_{2}} = ()

A.

B.

C.

\frac{3}{2}

D.

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4. 已知指数函数

y = f (x)

的图象与直线

y = x

相切于点

P

, 则

f (x)

的解析式可能是

A.

y = e^{x}

B.

y = (\sqrt{2})^{x}

C.

y = e^{\frac{x}{e}}

D.

y = {(\frac{1}{e})}^{x}

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5. 若

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x + 3 y \geq 7, \\ 3 x - 2 y \leq 1, \\ 3 x - 2 y \geq - 1, \end{cases}

则

z = y - 3 x

的最大值为

A.

- \frac{43}{11}

B.

- \frac{3}{2}

C.

- 1

D.

- \frac{31}{11}

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6. 记

S_{n}

为各项均为正数的等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和,

S_{3} = \frac{7}{8}, a_{3} = \frac{1}{2}

, 则

a_{5} =

( )

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{8}

C.

D.

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7. 如图是某个函数

y = f (x)

的图象的一部分, 则该函数可能是

A.

y = (x^{3} - x) \cdot \sin x

B.

y = (x^{2} - 1) \cdot \tan x

C.

y = \frac{\tan x}{2^{x} - 2^{- x}}

D.

y = \frac{x^{3} - x}{\cos x}

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8. 《天才引导的过程一一数学中的伟大定理》的作者威廉 - 邓纳姆曾写道: “如果你想要做加法你需要 0 , 如果你想要做乘法你需要 1 , 如果你想要做微积分你需要

e

, 如果你想要做几何你需要

π

, 如果你想要做复分析你需要

i

, 这是数学的梦之队, 他们都在这个方程里.” 这里指的方程就是:

e^{x + i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y)

, 令

x = 0, y = π

, 则

e^{i π} = - 1

, 令

x = 0, y = n π

, 则

e^{i n π} = \cos n π + i \sin n π

, 若数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = e^{i n π}, S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 则下列结论正确的个数是（）
①

{a_{n}}

是等比数列
②

a_{2 n} = a_{n}^{2}

③

S_{21} = 1

④

a_{n + 2} = a_{n}

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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9. 在

△ A B C

中, 点

F

为

A B

的中点,

\vec{C E} = 2 \vec{E A}, B E

与

C F

交于点

P

, 且满足

\vec{B P} = λ \vec{B E}

, 则

λ

的值为 ( )

A.

\frac{3}{5}

B.

\frac{4}{7} \sqrt{V}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{2}{3}

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10. 设

a = \ln \frac{2023}{2022}, b = \frac{1}{2022}, c = \log_{2} \frac{1}{2023}

, 则

A.

a < c < b

B.

c < b < a

C.

b < c < a

D.

c < a < b

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11. 已知

y = f (x)

是定义域为

R

的奇函数, 若

y = f (2 x + 1)

的最小正周期为 1 , 则下列说法一定正确的是

A.

f (x + 1) = f (- x + 1)

B.

1 是

f (x)

的一个周期

C.

f (1) = f (- 1) = 0

D.

f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 1

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12. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{3}{b c \cdot \sin A}

, 且

\sin (C - B) = \frac{1}{2} \sin A

, 则

c^{2} - b^{2} = ()

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

\frac{5}{2}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若单位向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{3}

, 则

\vec{a}

与

\vec{b}

的夹角为

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14. 若

y = \cos (2 x + \frac{π}{3})

的图象向右平移

φ (φ > 0)

个单位长度得到

y = \cos 2 x

的图象, 则

φ

的值可以是 . (写出满足条件的一个值即可)

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15. 已知点

P (m, n)

是函数

f (x) = \frac{1}{x - 1}

图象上的点, 当

m > 1

时,

2 m + n

的最小值为

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16. 已知关于

x

的方程

(\ln x)^{2} - 3 a x \ln x + 2 a^{2} x^{2} = 0

有 4 个不等实数根, 则

a

的取值范围是

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

\vec{a} = (\sin x + \cos x, 2 \cos θ), \vec{b} = (2 \sin θ, \frac{1}{2} \sin 2 x)

.
(1) 若

\vec{c} = (- 3, 4)

, 且

x = \frac{π}{4}, θ \in (0, π)

时,

\vec{a}

与

\vec{c}

的夹角为钝角, 求

\cos θ

的取值范围；
(2) 若

θ = \frac{π}{3}

, 函数

f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}

, 求

f (x)

的最小值.

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18. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} \Rightarrow {\begin{cases} a_{n} + 1, n 为奇数时 \\ a_{n} - 2, n 为偶数时 \end{cases}

a_{1} = 1

若数列

{b_{n}}

为数列

{a_{n}}

的奇数项组成的数列,

{c_{n}}

为数列

{a_{n}}

的偶数项组成的数列, 求出

c_{1}, c_{2}, c_{3}

, 并证明: 数列

{b_{n}}

为等差数列;
(2) 求数列

{a_{n}}

的前 22 项和.

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19. 已知公比的绝对值大于 1 的无穷等比数列

{a_{n}}

中的前三项恰为

- 32, - 2

, 3,8 中的三个数,

S_{n}

为数列

{(2 n + 1) a_{n}}

的前

n

项和.
(1) 求

S_{n}

;
（2）设数列

{\frac{10 \times (- 4)^{n - 1}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 求证:

- \frac{10}{9} \leq T_{n} \leq - \frac{30}{31}

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20. 如图,

△ A B C

中, 点

D

为边

B C

上一点, 且满足

\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}

.
(1) 证明:

∠ B A C + ∠ D A C = π

;
(2) 若

A B = 2, A C = 1, B C = \sqrt{7}

, 求

△ A B D

的面积.

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21. 已知

f (x) = e^{x} - a \sin x - 1

.
（1）当

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

时,

f (x) \geq 0

恒成立, 求

a

的取值范围;
(2) 当

a > 1

时, 求

f (x)

在

(- π, π)

上的零点个数.

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22. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = \sqrt{t}, \\ y = t - 1 \end{cases}

(

t

为参数), 曲线

C_{2}

的参数方程为

{\begin{cases} x = 5 + \cos θ \\ y = - 2 + \sin θ \end{cases} (θ

为参数

)

.
(1) 以坐标原点为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求曲线

C_{2}

的极坐标方程与

C_{1}

的普通方程;
(2) 若

A, B

分别为曲线

C_{1}

, 曲线

C_{2}

上的动点, 求

| A B |

的最小值.

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23. 已知函数

f (x) = | x + 2 | + | x - n |

.
(1) 若对

\forall x \in R, f (x) \geq 2

恒成立, 求实数

n

的取值范围;
(2) 若

f (x)

的最小值为 4 , 且正数

a, b, c

满足

a + 2 b + c = n

, 求

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

的最小值

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