题号:2818    题型:解答题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
如图, $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 为边 $B C$ 上一点, 且满足 $\frac{A D}{A B}=\frac{C D}{B C}$.
(1) 证明: $\angle B A C+\angle D A C=\pi$;
(2) 若 $A B=2, A C=1, B C=\sqrt{7}$, 求 $\triangle A B D$ 的面积.

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答案:
(1) 在 $\triangle A C D$ 中, 由正弦定理得 $\frac{A D}{\sin \angle A C D}=\frac{C D}{\sin \angle D A C}$ (1),
在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理得 $\frac{A B}{\sin \angle A C B}=\frac{B C}{\sin \angle B A C}$ (2),
(1)(2)两式相除得 $\frac{A D}{A B}=\frac{C D \cdot \sin \angle B A C}{B C \cdot \sin \angle D A C}$, 因为 $\frac{A D}{A B}=\frac{C D}{B C}$, 所以 $\sin \angle D A C=\sin \angle B A C$, 又因为 $0 < \angle D A C < \pi, 0 < \angle B A C < \pi, \angle D A C \neq \angle B A C$, 所以 $\angle B A C+\angle D A C=\pi$.
(2) 解法一: $A B=2, A C=1, B C=\sqrt{7}, \therefore \cos \angle B A C=\frac{A B^2+A C^2-B C^2}{2 A B \cdot A C}=\frac{4+1-7}{2 \times 2 \times 1}=-\frac{1}{2}, \because 0 < \angle B A C < \pi, \therefore \angle B A C=\frac{2 \pi}{3}$,

$\therefore \angle D A C=\pi-\angle B A C=\frac{\pi}{3}$, 由 (1) 得 $A D \cdot B C=A B \cdot C D, \therefore \sqrt{7} A D=2 C D$,
设 $A D=2 x, C D=\sqrt{7} x$, 则在 $\triangle A C D$ 中, $\cos \angle D A C=\frac{A D^2+A C^2-C D^2}{2 A D \cdot A C}=\frac{4 x^2+1-7 x^2}{2 \times 2 x}=\frac{1}{2}$, 解得 $x=\frac{1}{3}$ 或 $x=-1$ (舍去),
$$
\therefore A D=\frac{2}{3}, \angle B A D=\angle B A C-\angle D A C=\frac{\pi}{3}, \therefore S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} A D \cdot A B \cdot \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} \text {. }
$$
解法二: $A B=2, A C=1, B C=\sqrt{7}, \therefore \cos \angle B A C=\frac{A B^2+A C^2-B C^2}{2 A B \cdot A C}=\frac{4+1-7}{2 \times 2 \times 1}=-\frac{1}{2}, \because 0 < \angle B A C < \pi, \therefore \angle B A C=\frac{2 \pi}{3}$,
$\therefore \angle D A C=\pi-\angle B A C=\frac{\pi}{3}, \angle D A B=\frac{2 \pi}{3}-\angle D A C=\frac{\pi}{3}$, 即 $\angle D A B=\angle D A C=\frac{\pi}{3}, \therefore S_{\triangle A B D}+S_{\triangle A C D}=S_{\triangle A B C}$,
$\therefore \frac{1}{2} A D \cdot 2 \sin \frac{\pi}{3}+\frac{1}{2} A D \cdot \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \sin \frac{2 \pi}{3}$, 解得 $A D=\frac{2}{3}, \therefore S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} A D \cdot A B \cdot \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
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