题号:2802    题型:单选题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
已知指数函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=x$ 相切于点 $P$, 则 $f(x)$ 的解析式可能是
$A.$ $y=\mathrm{e}^x$ $B.$ $y=(\sqrt{2})^x$ $C.$ $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{e}}$ $D.$ $y=\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^x$
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答案:
C

解析:

由题意, 设 $f(x)=a^x$, 点 $P\left(x_0, a^x\right)$, 则 $a^x=x_0, f^{\prime}(x)=a^x \ln a$, 则 $\left\{\begin{array}{l}a^{x_0} \ln a=1, \\ a^x=x_0,\end{array}\right.$,解得 $$\left\{\begin{array}{l}
x_0=\mathrm{e} \\
a=\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}
\end{array}\right.
$$
所以 $y=\mathrm{e}^{\frac{x}{e}}$
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