题号:2821    题型:解答题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
[选修 4-5: 不等式选讲] (10 分)
已知函数 $f(x)=|x+2|+|x-n|$.
(1) 若对 $\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \geq 2$ 恒成立, 求实数 $n$ 的取值范围;
(2) 若 $f(x)$ 的最小值为 4 , 且正数 $a, b, c$ 满足 $a+2 b+c=n$, 求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值
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答案:
(1) 由绝对值三角不等式 $|x+2|+|x-n| \geqslant|(x+2)-(x-n)|$, 当且仅当 $(x+2)(x-n) \leqslant 0$ 时等号成立, 即 $f(x)=$ $|x+2|+|x-n| \geqslant|n+2|$, 由题意知 $|n+2| \geqslant 2$, 所以 $n+2 \geqslant 2$ 或 $n+2 \leqslant-2$, 即 $n \geqslant 0$ 或 $n \leqslant-4$,
综上, $n$ 的取值范围是 $(-\infty,-4] \cup[0,+\infty)$.
(2) 由 (1)知, $f(x)$ 的最小值为 $|n+2|$, 所以 $|n+2|=4$, 解得 $n=2$ 或 $n=-6$,
当 $n=-6$ 时, $a+2 b+c=-6 < 0$, 不符合题意,故舍去,从而 $n=2$,
$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(a+2 b+c)=4+\frac{2 b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{2 b}{c} \geqslant 4+2 \sqrt{\frac{2 b}{a} \times \frac{a}{b}+2 \sqrt{c} \sqrt{\frac{c}{a}} \times \frac{a}{c}+2 \sqrt{\frac{c}{b}} \times \frac{2 b}{c}}=6+4 \sqrt{2}$, 当且仅当
综上, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值为 $3+2 \sqrt{2}$.
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