题号:2813    题型:填空题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
已知点 $P(m, n)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 图象上的点, 当 $m > 1$ 时, $2 m+n$ 的最小值为
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答案:
$15.2 \sqrt{2}+2$

解析:

由点 $P(m, n)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 图像上的点, 所以 $n=\frac{1}{m-1}(m > 1, n > 0)$ 即 $(m-1) n=1, \therefore 2 m+n=2(m-1)+$ $n+2 \geqslant 2 \sqrt{2(m-1) n}+2=2 \sqrt{2}+2$, 当且仅当 $2(m-1)=n$, 即 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}+1, n=\sqrt{2}$ 时等号成立, 故 $2 m+n$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}+2$.
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