题号:2809    题型:单选题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
已知 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数, 若 $y=f(2 x+1)$ 的最小正周期为 1 , 则下列 说法一定正确的是
$A.$ $f(x+1)=f(-x+1)$ $B.$ 1 是 $f(x)$ 的一个周期 $C.$ $f(1)=f(-1)=0$ $D.$ $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)=1$
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答案:
C

解析:

$y=f(2 x+1)$ 昆小正周期为 1 , 故 $f(x+1)$ 最小正周期为 2 , 且 $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数,所以 $f(x+1)=f(x-1)=$ $-f(-x+1) \neq f(-x+1)$, 故 $\mathrm{A}$ 错误; $y=f(2 x+1)$ 的最小正周期为 1 , 则 $f[2(x+1)+1]=f(2 x+1)$, 即 $f(2 x+3)=f(2 x+1)$, 所 以 $y=f(x)$ 的最小正周期为 2 , 故 B 错误; $y=f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数, 所以 $f(0)=0, f(1)=-f(-1)$, 又因为 2 是 $f(x)$ 的一个周期, 所以 $f(1)=f(-1)$, 从而 $f(1)=f(-1)=0$, 故 C 正确; 同理 $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, 故 D 错误.故 选 C.
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