题号:2815    题型:解答题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
已知 $\vec{a}=(\sin x+\cos x, 2 \cos \theta), \vec{b}=\left(2 \sin \theta, \frac{1}{2} \sin 2 x\right)$.
(1) 若 $\vec{c}=(-3,4)$, 且 $x=\frac{\pi}{4}, \theta \in(0, \pi)$ 时, $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为钝角, 求 $\cos \theta$ 的取值范 围;
(2) 若 $\theta=\frac{\pi}{3}$, 函数 $f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}$, 求 $f(x)$ 的最小值.
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答案:
(1) $\because x=\frac{\pi}{4}, \therefore a=(\sqrt{2}, 2 \cos \theta)$.
$$
\because c=(-3,4) \text {, }
$$
当 $a$ 与 $c$ 共线时, $\frac{\sqrt{2}}{-3}=\frac{2 \cos \theta}{4}$, 解得 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 若 $a$ 与 $c$ 的夹角为钝角, 则 $a \cdot c=-3 \sqrt{2}+4 \times 2 \cos \theta < 0$, 解得 $\cos \theta < \frac{3 \sqrt{2}}{8}$,
$\because \theta \in(0, \pi), \therefore \cos \theta \in(-1,1)$, 综上可知, $\cos \theta \in\left(-1,-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \cup\left(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \frac{3 \sqrt{2}}{8}\right)$.
(2) $\theta=\frac{\pi}{3}, \therefore a=(\sin x+\cos x, 1), b=\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2} \sin 2 x\right), f(x)=a \cdot b=\sqrt{3}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2} \sin 2 x=\sqrt{3}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}[(\sin x+$ $\left.\cos x)^2-1\right]=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)^2+\sqrt{3}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}$, 令 $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$,
则 $y=\frac{1}{2} t^2+\sqrt{3} t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+\sqrt{3})^2-2$, 所以当 $t=-\sqrt{2}$ 时, $y_{\text {min }}=\frac{1}{2} \times 2+\sqrt{3} \times(-\sqrt{2})-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$,
此时 $x=-\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 故 $f(x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}-\sqrt{6}$.

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