单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin \left(t^{2}\right) d t, g(x)=x^{3}+x^{4}$ 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
设函数 $f$ 连续，若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \frac{f\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& D_{u v}: x^2+y^2=1, x^2+y^2=u^2, y=0, y=x \arctan v \\
& (u>1, v>0) \text { ，则 } \frac{\partial F}{\partial u}=
\end{aligned}
$$
$\text{A.}$ $v f\left(u^2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{v}{u} f\left(u^2\right)$
$\text{C.}$ $v f(u)$
$\text{D.}$ $\frac{v}{u} f(u)$
" 对任意给定的 $\varepsilon \in(0,1)$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n \geq N$时，恒有 $\left|x_n-a\right| \leq 2 \varepsilon$ “是数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但非必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件
$I_1=\int_0^1 \frac{ e ^{x^2}-1}{x^2} d x, I_2=\int_0^1 \frac{ e ^x-1}{x} d x, I_3=\frac{1}{2} \int_0^1 e ^{x^2} d x$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设 $A=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\ a_{44} & a_{33} & a_{42} & a_{41}\end{array}\right)$,
$P_1=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 其中 $A$ 可逆，则 $B^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1} P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1 A^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_1 P_2 A^{-1}$
$\text{D.}$ $P_2 A^{-1} P_1$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array}\right)$ ，则三条直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0$ (其中 $a_i^2+b_i^2 \neq 0, i=1,2,3$ ) 交于一点的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{C.}$ $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关， $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x \sqrt{t} \cos t d t}{x}=$
位于曲线 $y=x e^{-x}(0 \leq x < +\infty)$ 下方， $x$ 轴上方的无界图形的面积是
设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$ ，圆 $x^2+y^2=2 y$ 及 $y$ 轴围成，则二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma=$
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+2 x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$
三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$的通解为 $y=$
已知 3 阶实对称矩阵 $B$ 对应的二次型的正，负惯性指数相等，与矩阵 $B$ 相似的矩阵 $A$ 满足 $\left( A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3\right)=\left(a \alpha _1,(a-1) \alpha _3,(2+a) \alpha _2+3 \alpha _3\right)$ ，且对任一非零列向量 $\beta$ ，方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = \beta$ 均有解，则 $| B + E |=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y \ln y-x+y=0$ 确定，试判断曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,1)$ 附近的凹凸性.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数， $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
（1）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.
已知一抛物线通过 $x$ 轴上的两点 $A(1,0), B(3,0)$.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于 $x$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$.过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, 且满足条件 $|f(x)| \leqslant a,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant b$, 其中 $a, b$ 都是非负常数, $c$ 是 $(0,1)$ 内任意一点.
(1) 写出 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2) 证明 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 a+\frac{b}{2}$.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(A)=n, A_{i j}$ 是 $A=\left(a_{i j}\right)_{\mathrm{m} \times n}$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j .
$$
(1) 记 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$;
(2) 二次型 $g(X)=X^T A X$ 与 $f(X)$ 的规范形是否相同? 说明理由.