解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 规范形.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。
(I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；
() 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解但不唯一，试求:
(1) $a$ 的值;
(2) 正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵.