单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
利用变量替换 $u=x, v=\frac{y}{x}$ ，一定可以把方程 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z$ 化为新的方程
$\text{A.}$ $u \frac{\partial z}{\partial u}=z$
$\text{B.}$ $v \frac{\partial z}{\partial v}=z$
$\text{C.}$ $u \frac{\partial z}{\partial v}=z$
$\text{D.}$ $v \frac{\partial z}{\partial u}=z$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0 \text { 及 } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text { ，则( ) }
$$
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y)$ ，其中 $f, \varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设函数 $F(x, y)=\int_0^{x y} \frac{\sin t}{1+t^2} \mathrm{~d} t$ ，则
$$
\left.\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=
$$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在第一象限内，求曲线 $y=-x^2+1$ 上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设有一小山，取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面，其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2-x y \leq 75\right\}$ ，小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^2-y^2+x y$.
(1) 设 $M\left(x_0, y_0\right)$ 为区域 $D$ 上一点，问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 $g\left(x_0, y_0\right)$ ，试写出 $g\left(x_0, y_0\right)$ 的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 $D$ 的边界线 $x^2+y^2-x y=75$ 上找出使(1)中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.
设函数 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶导数， $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$.
（1）验证 $f^{\prime \prime}(u)+\frac{f^{\prime}(u)}{u}=0$
（2）若 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.