单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
利用变量替换 $u=x, v=\frac{y}{x}$ ，一定可以把方程 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z$ 化为新的方程
$\text{A.}$ $u \frac{\partial z}{\partial u}=z$
$\text{B.}$ $v \frac{\partial z}{\partial v}=z$
$\text{C.}$ $u \frac{\partial z}{\partial v}=z$
$\text{D.}$ $v \frac{\partial z}{\partial u}=z$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)$
$\text{A.}$ 两个偏导数不存在
$\text{B.}$ 两个偏导数存在，但不为 0
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不可微
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0 \text { 及 } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text { ，则( ) }
$$
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为