单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
悬链线 $y=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)(-1 \leq x \leq 1)$ 的弧长是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)$
$\text{B.}$ $e-e^{-1}$
$\text{C.}$ $2\left(e-e^{-1}\right)$
$\text{D.}$ $4\left(e-e^{-1}\right)$
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有（）．
$\text{A.}$ $N < P < M$
$\text{B.}$ $M < P < N$
$\text{C.}$ $N < M < P$
$\text{D.}$ $P < M < N$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
下列反常积分中收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}$
$\text{B.}$ $\int_1^2 \frac{d x}{(x-1)^3}$
$\text{C.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x(x+1)}$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{x(x+1)}$
已知反常积分 (1) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$,
(2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^4} d x$,
(3) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$, $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^3}{1+x^4} d x$, 其中收敛且值等于 0 的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (2)(4).
$\text{D.}$ (1)(2)(3).
$\text{E.}$ (1)(2)(4).
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$, 则 $a=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| d x=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) d x=$ $\qquad$ ．
水平安置半径为 $R$ 的半球形水池中盛满了水, 水池球形底部中心有一个半径为 $\frac{R}{5}$ 的圆孔，按流速公式 $v=\sqrt{2 g h}$ ( $h$ 为池中水深)，计算池中的水全部流完所需的时间 $T$ 。
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．