单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
下列式子中，正确的式子个数是（ ）．
（1） $\int \tan x d x=\ln |\cos x|+C$ ，
（2） $\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C$ ，
（3） $\int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C$ ，
（4） $\int \csc x d x=\ln |\csc x-\cot x|+C$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数大于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数等于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数不存在
设 $x^2+y^2 \leqslant 2 a y(a>0)$ ，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 在极坐标下的累次积分为（）。
$\text{A.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 a \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 a \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 a \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 a \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\ln t, \\ y=\frac{t-t^3}{\sin \pi t}\end{array}\right.$ 确定，则 $f(x)$ 有 $(\quad)$ 个可去间断点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$ ，其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $f(0,0)=0$ ， $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$ ，则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续，但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续，偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
已知向量组（ I ） $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ ，（II） $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，则
$\text{A.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{B.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{C.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$\text{D.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$A =\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ 的所有元素的代数余子式 $A_{i j}$ 之和 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y)=x^3-x^2 y^2+y^3$ 有 $\qquad$个极值点．
曲线 $y=x \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 共有 $\qquad$条渐近线。
曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处对应点在直角坐标系下的法线方程为
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
设曲线 $\Gamma$ 的极坐标方程为 $r=\sin 2 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\Gamma$ 围成的有界区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为 .
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2-a x_3\right)^2+\left(a x_3+x_1\right)^2$ 的秩为 2 , 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x y+2 \ln x=y^4$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) 求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点.
作半径为 $r$ 的球的外切正圆椎，问此圆椎的高 $h$ 为何值时，其体积 $\boldsymbol{V}$ 最小，并求出该最小值.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内有二阶连续导函数，且
$$
f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0 .
$$
证明: 存在惟一的一组实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，使得当 $h \rightarrow 0$ 时，
$$
\lambda_1 f(h)+\lambda_2 f(2 h)+\lambda_3 f(3 h)-f(0)
$$
是比 $h^2$ 高阶的无穷小.
设 $\alpha =(1,1,-1)^{ T }$ 是 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量．
（1）确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\alpha$ 所对应的特征值；
（2）讨论 $A$ 是否可以对角化，说明理由．