单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3+12 y=\sin x$ 的阶是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
在下列选择中，当 $x \rightarrow 0^{+}$时，是 $\sqrt{x}$ 的等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
(1) 设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)$ 二阶导数大于零且 $f(0)=f(2)=0$, 给出以下四个结论:
(1) 当 $x \in(0,2)$ 时, $f(x) < 0$.
(2) 当 $x \in(0,2)$ 时, $2 f(x)>\int_0^2 f(t) d t$.
(3)当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>f^{\prime}(0) x$.
(4) 当 $x \neq 2$ 时, $f(x) < f^{\prime}(2)(x-2)$.
其中正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (1)(4).
$\text{D.}$ (2)(3).
$\text{E.}$ (2)(4).
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取到
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取到
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取到，最小值在 $D$ 的边界上取到
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取到，最大值在 $D$ 的边界上取到
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>4, b>0$
$\text{B.}$ $a < 4, b>0$
$\text{C.}$ $a>4, b < 0$
$\text{D.}$ $a < 4, b < 0$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵. 若 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^*\right)=O$ ，且 $A \neq A^*$ ，则 $r(A)$ 的取值为
$\text{A.}$ 0 或 1
$\text{B.}$ 1 或 3
$\text{C.}$ 2 或 3
$\text{D.}$ 1 或 2
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $x y=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆方程为
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^4}=$
通解为 $y=C_1 e ^{-x}+C_2 x$（ $C_1, C_2$ 是任意常数）的常微分方程是 $\qquad$ ．
已知 $|a| < \frac{1}{3}$ ，求 $u(x, y, z)=a x^3-y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的最值．
设 $x \neq 0$, 则 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论方程 $\left(x^2-3\right)-k e ^{-x}=0$ 根的情况, 其中 $k$ 为实数.
设 $L$ 为 $x O y$ 平面内不经过原点的正向简单光滑封闭曲线, 讨论积分 $\oint_L \frac{(x-y) d x+(x+4 y) d y}{x^2+4 y^2}$ 的取值情况。
（ I ）求微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y= e ^{3 x}$ 的一个特解 $y=y(x)$ ，使其满足 $y(0)=0$ ，且相应曲线 $y=y(x)$ 在 $(0,0)$ 点处有水平切线；
（II）对于（ I ）中的 $y(x)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(4+2 \tan x)^x-4^x}{y(x)}$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{1-x^3 y^2}{\left(y+2 \sqrt{1-x^2}\right)^2} d x d y$ ，其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 1,-y \leqslant x \leqslant y$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & b & -2 \\ b & a & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$ ，且 $\alpha=\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right]$ 为矩阵 $A$ 的特征向量．
（1）求 $a, b$ 的值及 $\alpha$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（2）求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵．