解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi _1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 记满足 $A \xi _2=2 \xi _1, A ^2 \xi _3=6 \xi _1$ 的向量为 $\xi _2, \xi _3$ ，证明:对任意满足条件的向量 $\xi_2, \xi_3$ ，都有 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关.
设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
$$
A^*=\left(\begin{array}{lll}
a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\
a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\
a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2
\end{array}\right),
$$
求 $A$.
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
设 $A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$, 已知 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是线性方程组 $A X=b$ 的一个解, 求线性方程组 $A X=b$ 的通解.