单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=4, \\ x^2+y^2=2 x\end{array}\right.$ 在点 $(1,1, \sqrt{2})$ 处的法平面方程为
$\text{A.}$ $\sqrt{2} x-y=0$.
$\text{B.}$ $\sqrt{2} x-z=0$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2} x-y=\sqrt{2}-1$.
$\text{D.}$ $\sqrt{2} x-z=\sqrt{2}-1$.
下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。
$\text{A.}$ $\int_0^6 \frac{x^3}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^6 \frac{x}{\left(x^2-6\right)^2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1}{x \ln x} d x$
设 $a \neq b$, 若 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则 $a, b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$.
$\text{B.}$ $a < 0, b>0$.
$\text{C.}$ $a>0, b < 0$.
$\text{D.}$ $a>0, b>0$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内具有连续二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{e^x-1}=1$,则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 ( ).
$\text{A.}$ 有极值;
$\text{B.}$ 无极值;
$\text{C.}$ 无拐点;
$\text{D.}$ 有拐点.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
设 $0 < a < 1, I_1=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{a x}-1}{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\sqrt{a x}+1}{\sqrt{x}+1} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < a < I_2$.
$\text{B.}$ $I_2 < a < I_1$.
$\text{C.}$ $a < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < a$.
已知反常积分 (1) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$,
(2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^4} d x$,
(3) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$, $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^3}{1+x^4} d x$, 其中收敛且值等于 0 的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (2)(4).
$\text{D.}$ (1)(2)(3).
$\text{E.}$ (1)(2)(4).
设函数 $f(x)$ 二阶导数大于零且 $f(0)=f(2)=0$, 给出以下四个结论:
(1) 当 $x \in(0,2)$ 时, $f(x) < 0$.
(2) 当 $x \in(0,2)$ 时, $2 f(x)>\int_0^2 f(t) d t$.
(3)当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>f^{\prime}(0) x$.
(4) 当 $x \neq 2$ 时, $f(x) < f^{\prime}(2)(x-2)$.
其中正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (1)(4).
$\text{D.}$ (2)(3).
$\text{E.}$ (2)(4).
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_{\arccos x}^{\ln x} f(t) d t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left. d y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-x} \sin x d x$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{\sqrt{x}} \ln \left(1+t^4\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$;
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算由摆线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的二阶导数．
若方程 $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x_0$ ，证明方程
$a_0 n x^{n-1}+a_1(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=0$必有一个小于 $x_0$ 的正根．
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
证明：当 $|x| < 1$ 时, $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{3}{2} x^2$ 。
设 $\Gamma$ 是空间曲线: $y=e^{\frac{x^2}{2}}, z=0, x \geq 0$, 将该曲线绕坐标 $y$ 轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面 $y=e$ 围成的有界立体的体积。
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1} \sin \frac{\pi}{2} x+\cos (a+b x)}{x^{2 n}+1}$ (其中 $a 、 b$ 为常数, $\left.0 < a < 2 \pi\right)$,
(1)求 $f(x)$ 的表达式;
(2)确定 $a, b$ 之值, 使 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1), \lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1)$.