单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
设函数 $e^x f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$, 则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{e}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{e}$.
$\text{E.}$ $2-\frac{2}{e}$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则下列顺序正确的是 ( ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$在 $(-\infty,+\infty)$ 内 ( )
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left( e ^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（）．
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3 x^2+1}$ 的渐近线方程为
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$, 则 $L$ 在 $(r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\left( e ^x+1\right) x^2$ ，试求 $f(x)$ 的 $n$ 阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，并求 $f^{(5)}(0)$ ．
设函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ ，试确定其所有的间断点并判定其类型（第一类，第二类）．
设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^2 y}$, 问 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点
( 1$)$ 是否连续?
( 2 ) 偏导数是否存在?
( 3 ) 是否可微?
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有非负的二阶导函数, 在 $x=0$ 处连续, 并且 $f(0)=0$, 证明: 对于任意的 $x_1>0, x_2>0$, 都有 $f\left(x_1+x_2\right) \geq f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。
设函数 $f(x)$ 连续，且对任意实数 $x, h$ 满足 $f(x+h)=\int_x^{x+h} t\left[f(t+h)+t^2\right] d t+f(x)$ $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x)]^{\frac{1-}{x^4}}=a(a>0)$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$
设曲线段 $\widehat{A B}$ 是由函数 $y=f(x)$ 在 $x \in[0,1]$ 上给出, 其中 $A=(0, f(0)), B=$ $(1, f(1)), f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微. 证明: 在 $\overparen{A B}$ 上存在一点 $P(\xi, f(\xi)), \xi \in[0,1]$, 使得 $P$ 点处的切线 $L$ 夹在平行直线 $x=0$ 和 $x=1$ 之间的线段长度恰巧等于 $\overparen{A B}$ 的弧长.