单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B 、 C$ 为随机事件, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(A B)=P(B C)=P(A C)=\frac{1}{6}, P(A \cup B \cup C)=\frac{3}{8}$, 则 $P(C \mid A B)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是简单随机样本, 来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma$ 是未知参数, 则以下是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n^2 E(\bar{X})$
$\text{B.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n \mu$
$\text{C.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sqrt{S^2}}$
$\text{D.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sigma}$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,|y| < x, 0 < x < 1, \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
则 $P\left\{Y>0 \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right\}=1$,
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本的容量为 10 , 其中 $\mu$ 末知. 若 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.90$ 的单侧置信区间的置信下限 为
$\text{A.}$ $\dfrac{\chi_{0,025}^2(9)}{\chi_{0,10}^2(9)}$
$\text{B.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0.10}^2(9)}$
$\text{C.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0,90}^2(9)}$
$\text{D.}$ $\dfrac{\chi_{0.975}^2(9)}{\chi_{0.05}^2(9)}$
设 $X$ 为非负连续型随机变量, 其 $k(k=1,2, \cdots)$ 阶矩存在概率密度记为 $f(x)$, 分布函数记为 $F(x)$,则 $\int_0^{+\infty}[1-F(x)] d x=$
$\text{A.}$ $E X$.
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)$.
$\text{C.}$ $D X$.
$\text{D.}$ 1.
设随机变量 $X$ 服从区间 $[0,2]$ 上的均匀分布, 若 $P\left(X^2 \leq a\right)=\frac{1}{4}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{D.}$ 1.
设随机变量 $X$ 满足 $E(X)=E\left(X^3\right)=0, E\left(X^2\right)=1, D\left(X^2\right)=2$, 则根据切比雪夫不等式, $P\left\{\left|X^2+2 X-1\right| \geqslant 5\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{25}$.
$\text{B.}$ $\frac{4}{25}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $\frac{6}{25}$.
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设离散型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0 & x < 0 \\ a & 0 \leq x < 2 \\ \frac{3}{4}-a & 2 \leq x < 3 \\ a+b & x \geq 3\end{array}\right.$, 且 $P(X=3)=\frac{1}{2}$ 则 $a, b$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=C=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A=1, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $A=1, B=C=\frac{\pi}{2}$
设 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且 $E\left(X_i\right)=1, D\left(X_i\right)=1 \quad(i=1,2,3)$, 则对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 由切比雪夫不等式可得
$\text{A.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{B.}$ $P\left(\left|\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{C.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{D.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-3 \varepsilon^{-2}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $(X, Y) \sim N(2,1,4,9,-0.5)$, 则 $X$ 与 $Y$ 的协方差等于
若 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N(1,2 ; 1,4 ; 0.5)$, 则 $\operatorname{Cov}\left(X-1, \frac{Y-2}{2}\right)=$
箱子中装有 5 个相同的球, 编号分别为 $1,2,3,4,5$, 从中随机取出 3 个, $X$ 表示所取出球的最大编号, 则 $E(X)=$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为 $X$ 的简单随机样本, 则统计量
$$
Y=\frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^4(-1)^{i-1} X_i}{\sqrt{\sum_{i=5}^{10} X_i^2}} \text { 服从分布为 }
$$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
生产线生产的产品成箱包装，每箱质量是随机的．假设平均每箱重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977)$
在任意长为 $t$ 的时间内发生事件 $A$ 的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\frac{1}{2} t$ 的泊松分布, 设 $T$ 为相邻两次事件 $A$ 之间的时间间隔.
(1) 求 $T$ 的概率密度函数;
(2) 求使 $E(|T-C|)$ 取得最小值的常数 $C$;
(3) 在 (2) 的基础上, 证明: $C$ 满足 $P\{T \leqslant C\}=P\{T \geqslant C\}=\frac{1}{2}$.
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x_\mu}{\theta}}, & x \geqslant \mu, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta>0, \theta, \mu$ 为参数， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本。
(I) 如果参数 $\mu$ 已知，求未知参数 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(II) 如果参数 $\theta$ 已知, 求末知参数 $\mu$ 的极大似然估计量 $\hat{\mu}$.
设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$. 已知条件概率密度
$$
\begin{aligned}
& f_{X \mid Y}(x \mid y)=A e^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2},-\infty < x < +\infty, \text { 和 } \\
& f_{Y \mid X}(y \mid x)=B e^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^2},-\infty < y < +\infty .
\end{aligned}
$$
求 (I) 常数 $A$ 和 $B$;
(II) $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$;
(III) $f(x, y)$ 和 $\rho_{X Y}$.
设总体 $X$ 具有概率密度函数 $f(x ; \alpha)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\alpha}{1-\alpha} x^{\frac{\alpha}{1-\alpha}-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 其中 $0 < \alpha < 1$ 是未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自该总体的一个简单样本. (1) 求 $\alpha$ 的矩估计量 $\hat{\alpha}_1$ ；（2）求 $\alpha$ 的最大似然估计量 $\hat{\alpha}_2$ ；（3）令 $\hat{\alpha}_3=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ ，求 $E\left(\hat{\alpha}_3\right)$.
假设某咖啡店在任何长为 $t$ (单位:小时) 的时间内卖出的咖啡杯数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布. 若一天内卖出 100 杯咖啡，则当天该店净利润大于 0.
(I) 求相继卖出两杯咖啡之间的时间间隔 $T_1$ 的概率密度;
（II）记一天中，从开始营业到开始盈利的时间为 $T_2$ ，求 $T_2$ 的概率密度；
(III) 已知 $\lambda=20$, 问长期来看, 若要盈利, 则该咖啡店需平均每天至少营业多少小时?
$$
\left(\int_0^{+\infty} t^n e^{-t} d t=n!\right)
$$