单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3+12 y=\sin x$ 的阶是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
设 $f(x)=\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t, g(x)=\tan x-\sin x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\int_{-1}^1 \frac{x^2 \arctan x+1}{1+x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $1+\pi$
$\text{B.}$ $1+\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
设 $f(x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
$\text{A.}$ $(-1)^n(1+n) x e^{-x}$ ；
$\text{B.}$ $(-1)^n(1-n) x e^{-x}$ ；
$\text{C.}$ $(-1)^n(x+n) e^{-x}$ ；
$\text{D.}$ $(-1)^n(x-n) e^{-x}$ 。
设函数 $f(x)$ 连续, 给出下列四个条件
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在;
(3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在;
(4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在;
其中能得到 " $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导"的条件个数是( )
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则 $\quad$ )
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续.
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续.
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, $f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续.
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续, $f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \beta$ 是四维非零列向量， $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right), A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，又知方程组 $A x = \beta$ 的通解为 $(1,-1,0,3)^{ T }+c(2,0,-4,0)^{ T }$ ，则 $A \cdot x = 0$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2$ ．
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ ．
$\text{C.}$ $\alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _2$ ．
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$ ．
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_2+2 \alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x=$
已知函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln (1+2 t) \\ 2 t-\int_1^{y+t^2} e^{-u u^2} d u=0\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}=$
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$ ，则不定积分 $\int x \tan y d x=$
有一容器, 其内侧壁由过原点的曲线 $y=y(x)(x>0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成, 容器底部 (原点处) 开有一小孔. 已知液体从容器底部流出的速率 $v=k \sqrt{2 g h}$ (单位: $m / s$ ), 其中 $g$ 为重力加速度 (单位: $m / s ^2$ ), $h$ 为小孔上方的液面高度 (单位: m ), $k$ 为大于 0 的常数. 若液面高度以 $l m / s$ 的速率匀速下降, 则 $y(x)=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 。
(1) 求 $a$ ；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程.
已知曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(0 \leq t \leq \pi)(a>0)\right.$ 与 $y=0$ 所围成区域为 $D$, 且该区域绕 $x$轴旋转一周的体积与该区域的面积相等，则
(I) 求常数 $a$ 的值.
(II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周的侧表面积.
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 有二阶连续的导数, 证明: 存在 $\xi \in[-1,1]$ 内使得 $\int_{-1}^1 x f(x) d x=\frac{2}{3} f^{\prime}(\xi)+\frac{1}{3} \xi f^{\prime \prime}(\xi)$.
(I) 设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$, 用可逆线性变换将 $f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性变换. 并说明二次型的对应矩阵 $A$ 是正定矩阵. (II) 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $D$, 使 $A = D ^{ T } D$.
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．