单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F(x)$ 是某随机变量的分布函数，则以下函数一定是分布函数的是
$\text{A.}$ $F(-x)$
$\text{B.}$ $F(0.3 x)$
$\text{C.}$ $F\left(x^{-1}\right)$
$\text{D.}$ $F\left(x^2\right)$
AB 为随机事件, $\vec{B}$ 为对立事件, $P(A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$, $P(A \mid B)=\frac{1}{5}$, 则 $P(B \mid A)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{9}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{4}{9}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \text {, 则 } P\{X=1\}=(\quad) . \\ 1- e ^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}- e ^{-1}$
$\text{D.}$ $1- e ^{-1}$
下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).
$\text{A.}$ $f_1(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_2(x)= \begin{cases}\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x < 0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_3(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_4(x)= \begin{cases}1-\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设 $A, B$ 是两个随机事件，且 $P(A)=0.6, P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1, P(A \cup B)=0.8$ ，则 $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ 与 $P(\bar{B} \mid A)$ 分别是
$\text{A.}$ $0.5,0.5$ ．
$\text{B.}$ $0.5,0.7$ ．
$\text{C.}$ $0.7,0.5$ ．
$\text{D.}$ $0.7,0.4$ ．
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设二维随机变量 $\left(X_1, Y_1\right)$ 和 $\left(X_2, Y_2\right)$ 的概率密度分别为 $f_1(x, y)$ 与 $f_2(x, y)$ ，令
$$
f(x, y)=a f_1(x, y)+b f_2(x, y),
$$
若 $f(x, y)$ 是某二维连续型随机变量的概率密度，则 $a, b$ 满足条件（ ）．
$\text{A.}$ $a+b=1$
$\text{B.}$ $a>0$ 且 $b>0$
$\text{C.}$ $0 \leqslant a \leqslant 1,0 \leqslant b \leqslant 1$
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ 且 $a+b=1$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其 中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$ ． $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
3 个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，则此密码被破译出的概率是
设 $X, Y$ 相互独立, $X$ 的分布律为 $P\{X=1\}=0.2, P\{X=2\}=0.8, Y \sim U(0,5)$,则 $P\{X+Y \leqslant 3\}=$
用 $X_n$ 表示任投一硬币前 $n$ 次试验中硬币出现正面的次数, 每次硬币正面向上的概率为 $1 / 2$, 则 $X_{10}$ 服从的分布及参数是 ________ $ \operatorname{Cov}\left(X_{10}, X_{100}\right)=$ ________
设 $x_1, x_2, \cdots, x_5$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的样本观测值, 若 $\sum_{i=1}^3 x_i=5, \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2=9$, 则样本方差 $s^2=$
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 ．现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验，以 $X$ 表示＂不能承受试验而烧毁的元件数＂，则根据中心极限定理，$P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} \approx$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为 $X$ 的简单随机样本, 则统计量
$$
Y=\frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^4(-1)^{i-1} X_i}{\sqrt{\sum_{i=5}^{10} X_i^2}} \text { 服从分布为 }
$$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有甲，乙，丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为 $0.2, ~ 0.3, ~ 0.5$ ，目标被命中一发而被击毁的概率为 0.2 ，被命中两发而被击毁的概率为 0.6 ，被命中三发而被击毁的概率为 0.9 ，求：
（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；
（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。
生产线生产的产品成箱包装，每箱质量是随机的．假设平均每箱重 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977)$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 e^{-(2 x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求: (1) $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) $P\{X \leqslant 2 \mid Y \leqslant 1\}$.
已知二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=A e^{-\left[(x+5)^2+8(x+5)(y-3)+25(y-3)^2\right]}
$$
求：（1）系数 $A$ ；
（2）$E X, E Y, D X$ 和 $D Y$ ；
（3）$\rho_{X Y}$ ；
（4）$X$ 和 $Y$ 的分布．
设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态分布的联合密度函数，且它们对应的二维随机向量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ 。它们的边际密度函数所对应的随机变量的数学期望都是 0 ，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ，及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
（2）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么？
（3）$(X, Y)$ 是否服从二维正态分布？
设 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的容量为 $n(n \geqslant 2)$ 的样本，且 $\bar{X}_n, S_n^2$ 分别为样本 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 的样本均值及样本方差，即
$$
\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}_n\right)^2
$$
又设 $X_{n+1}$ 为新获得的第 $n+1$ 个观测结果，证明由这 $n+1$ 个观测结果算得的样本均值和样本方差分别为
$$
\begin{gathered}
\bar{X}_{n+1}=\bar{X}_n+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right) \\
S_{n+1}^2=\frac{n}{n+1}\left[S_n^2+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right)^2\right]
\end{gathered}
$$