单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y+x e^y=\ln 5$ 所确定，则 $y^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -5
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}$
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\int_{-1}^1 \frac{x^2 \arctan x+1}{1+x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $1+\pi$
$\text{B.}$ $1+\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
设 $f(x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
$\text{A.}$ $(-1)^n(1+n) x e^{-x}$ ；
$\text{B.}$ $(-1)^n(1-n) x e^{-x}$ ；
$\text{C.}$ $(-1)^n(x+n) e^{-x}$ ；
$\text{D.}$ $(-1)^n(x-n) e^{-x}$ 。
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则 $\quad$ )
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续.
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续.
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, $f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续.
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续, $f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $M^*$ 为 $M$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| B^* & -B^* A^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -A^* B^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -B^* A^* \\ O & |A| B^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & -\boldsymbol{A}^* B^* \\ -\boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right)$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，下列命题正确的有（）个.
(1) 若 $\alpha$ 为 $A ^{ T }$ 的特征向量，则 $\alpha$ 必为 $A$ 的特征向量
(2) 若 $\alpha$ 为 $A$ "的特征向量,则 $\alpha$ 必为 $A$ 的特征向量
(3) 若 $\alpha$ 为 $A ^2$ 的特征向量,则 $\alpha$ 必为 $A$ 的特征向量
(4) 若 $\alpha$ 为 $k A (k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\alpha$ 必为 $A$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为
累次积分 $I=\int_0^1 d y \int_0^{y^2} y \sin (1-x)^2 d x=$
微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为
已知区域 $D$ 由曲线 $L:\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 的右半支围成，则 $\int_D x d \sigma=$
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程.
某行星上的磁场强度为 $M(x, y, z)=6 x-y^2+x z+50$, 行星表面的点 $(x, y, z)$ 满足方程 $x^2+y^2+z^2=20$ 。科学家欲在该行星表面磁场强度最小处架设一台天文望远镜进行探测, 求该望远镜的选址坐标 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$.
设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x)+3 \int_0^x f(x-t) d t+2 \int_0^x t f(x-t) d t=2 e ^{-x}+5 x-1$ ．
（1）求 $f(x)$ ；
（2）求曲线 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成的无界区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $\int_0^1 f(x) d x=0, \int_1^2 f(x) d x=0, f(1)=1$ ．证明：
（1）存在 $c \in(0,1)$ ，使得 $(1-c)[1-f(0)]=f^{\prime}(c) e ^{c-1}$ ；
（2）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\int_0^{\xi} f(x) d x$ ．
已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 。
(1) 求 $a$ ；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
(I) 设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$, 用可逆线性变换将 $f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性变换. 并说明二次型的对应矩阵 $A$ 是正定矩阵. (II) 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $D$, 使 $A = D ^{ T } D$.