填空题 （共 20 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求曲线 $y=\frac{1+x}{1-e^{-x}}$ 的渐近线个数
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 对应于 $t=1$ 处的法线方程为
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3, \\ y=\mathrm{e}^y \sin t+1\end{array}\right.$ 所确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应的点 处的曲率 $k=$
已知正四面体 $O-A B C$ (就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增大 (过程中 仍然保持正四面体), 那么当棱长变为 $3 \mathrm{~cm}$ 的时候该正四面体表面积的增大速率为
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
$\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^1 \frac{\arctan x}{x^5} \mathrm{~d} x=$
质点以速度 $t \sin \left(t^2\right)$ 米秒作直线运动，则从时刻 $t_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$到 $t_2=\sqrt{\pi}$ 秒内质点所经过的路程等于米.
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $\frac{f(x)}{F(x)}=-2, F(0)=1$ ，
则 $\int_0^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x=$
由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
设 $z=\sin x+\sin (x y)+\int_0^{x+y} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$
设三阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为 $y= e ^x(1+\cos x)$, 则该方程的表达式为
微分方程 $\left(y+x^3\right) d x-2 x d y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
设 $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}=0$ 的解, 且当 $x \rightarrow 0$ 时, $y(x)$ 是 $x^2$ 的等价无穷小, 则 $y(x)=$
已知某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程有特解 $y_1(x)= e ^x \cos 2 x, y_2(x)=x$ ，且方程中 $y^{(n)}$前的系数为 1 ，则最小的 $n=$ $\qquad$ ，该方程为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$ $\qquad$
函数 $y=\frac{x^3+3 x^2-x-3}{x^2+x-6}$ 的第一类间断点是
已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0 < \theta < 1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$