解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 在 $(1,1)$ 处的曲率半径．
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}$ ，且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ ，满足条件
$$
\int_1^{x t} f(u) \mathrm{d} u=t \int_1^x f(u) \mathrm{d} u+x \int_1^t f(u) \mathrm{d} u .
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y-x} e^{-u^2} \mathrm{~d} u$ 确定，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y-(1+e) x-1}{x^2} .
$$
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $x^2 y^{\prime}+y=\left(1-x^3\right) e ^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足 $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ 的解．
（ I ）求 $y(x)$ ；
（II）设 $I_a$ 是曲线 $y=y(x)$ 在点 $(a, y(a))$ 处的法线在 $y$ 轴上的截距，证明：当 $a \neq 0$ 时，恒有 $I_a < -a^2-\frac{a^6}{24}$ ．
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可微, 对于 $[0,1]$ 上的每一个 $x$, 函数 $f(x)$ 的值都在开区间 $(0,1)$ 内, 且 $f^{\prime}(x) \neq 1$. 证明: 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个 $x$, 使 $f(x)=x$.